Номер 4, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

4.Решение:

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций без построения, составим и решим систему уравнений:

$$\begin{cases} y = \frac{1}{2}x^2 \\ y = 3x - 4 \end{cases}$$

Приравняем правые части обоих уравнений:

$$\frac{1}{2}x^2 = 3x - 4$$

Умножим обе части уравнения на $2$, чтобы избавиться от дроби:

$$x^2 = 6x - 8$$

Перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы получилось стандартное квадратное уравнение:

$$x^2 - 6x + 8 = 0$$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант ($D$):

$$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Теперь найдём соответствующие значения переменной $y$, подставив полученные значения $x$ во второе уравнение $y = 3x - 4$:

1) При $x_1 = 2$:
$y_1 = 3 \cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2$

Получаем первую точку с координатами $(2; 2)$.

2) При $x_2 = 4$:
$y_2 = 3 \cdot 4 - 4 = 12 - 4 = 8$

Получаем вторую точку с координатами $(4; 8)$.

Ответ: $(2; 2)$, $(4; 8)$.