Номер 2, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

2.Дано:
Прямоугольник;
Периметр: $P = 14\text{ см}$;
Диагональ: $d = 5\text{ см}$.

Найти:
Площадь прямоугольника ($S$).

Решение:

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$ (в см).

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: $$P = 2(a + b)$$ Подставим известное значение периметра: $$2(a + b) = 14$$ $$a + b = 7 \implies b = 7 - a$$

Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника, где стороны $a$ и $b$ являются катетами, а диагональ $d$ — гипотенузой. По теореме Пифагора: $$a^2 + b^2 = d^2$$ $$a^2 + b^2 = 5^2$$ $$a^2 + b^2 = 25$$

Подставим выражение $b = 7 - a$ в полученное уравнение: $$a^2 + (7 - a)^2 = 25$$ Раскроем скобки с помощью формулы квадрата разности: $$a^2 + (49 - 14a + a^2) = 25$$ $$2a^2 - 14a + 49 - 25 = 0$$ $$2a^2 - 14a + 24 = 0$$

Разделим обе части уравнения на $2$: $$a^2 - 7a + 12 = 0$$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант: $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$$ $$a_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{7 + 1}{2} = 4$$ $$a_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{7 - 1}{2} = 3$$

Если сторона $a = 4\text{ см}$, то $b = 7 - 4 = 3\text{ см}$ (и наоборот). Значит, стороны прямоугольника равны $4\text{ см}$ и $3\text{ см}$.

Найдем площадь прямоугольника: $$S = a \cdot b = 4 \cdot 3 = 12\text{ см}^2$$

Ответ: $12\text{ см}^2$.