Номер 1, страница 84 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Для того чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители, воспользуемся формулой:
$$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$ где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

а)$x^2 - 10x + 21$

Решение:
Приравняем трёхчлен к нулю и найдём его корни:
$$x^2 - 10x + 21 = 0$$

Найдём дискриминант уравнения ($a = 1$, $b = -10$, $c = 21$):
$$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16 = 4^2$$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:
$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 4}{2} = \frac{14}{2} = 7$$
$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

(Корни также легко находятся по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 10$ и $x_1 \cdot x_2 = 21$, откуда $x_1 = 7$, $x_2 = 3$).

Подставим найденные корни в формулу разложения на множители ($a = 1$):
$$x^2 - 10x + 21 = (x - 7)(x - 3)$$

Ответ: $(x - 7)(x - 3)$

б)$5y^2 + 9y - 2$

Решение:
Приравняем квадратный трёхчлен к нулю:
$$5y^2 + 9y - 2 = 0$$

Найдём дискриминант ($a = 5$, $b = 9$, $c = -2$):
$$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 = 11^2$$

Найдём корни уравнения:
$$y_1 = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$
$$y_2 = \frac{-9 - 11}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$$

Разложим трёхчлен на множители по формуле $a(y - y_1)(y - y_2)$:
$$5y^2 + 9y - 2 = 5\left(y - \frac{1}{5}\right)(y - (-2)) = 5\left(y - \frac{1}{5}\right)(y + 2)$$

Внесём множитель $5$ в первую скобку, чтобы избавиться от дроби:
$$5\left(y - \frac{1}{5}\right)(y + 2) = (5y - 1)(y + 2)$$

Ответ: $(5y - 1)(y + 2)$