номер 1, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Для разложения квадратного трёхчлена на множители используется формула: $$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$ где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

а) $y^2 + 3y - 40$

Решение:
Приравняем квадратный трёхчлен к нулю и найдём его корни:
$$y^2 + 3y - 40 = 0$$

Найдём дискриминант:
$$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169 = 13^2$$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:
$$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$$ $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8$$

Подставим найденные корни в формулу разложения (старший коэффициент $a = 1$):
$$y^2 + 3y - 40 = 1 \cdot (y - 5)(y - (-8)) = (y - 5)(y + 8)$$

Ответ: $(y - 5)(y + 8)$

б) $9x^2 - 2x - 11$

Решение:
Приравняем квадратный трёхчлен к нулю:
$$9x^2 - 2x - 11 = 0$$

Вычислим дискриминант:
$$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-11) = 4 + 396 = 400 = 20^2$$

Найдём корни уравнения:
$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 20}{2 \cdot 9} = \frac{22}{18} = \frac{11}{9}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 20}{2 \cdot 9} = \frac{-18}{18} = -1$$

Подставим корни в формулу разложения (старший коэффициент $a = 9$):
$$9x^2 - 2x - 11 = 9\left(x - \frac{11}{9}\right)(x - (-1)) = 9\left(x - \frac{11}{9}\right)(x + 1)$$

Внесём множитель $9$ в первую скобку, чтобы избавиться от дроби:
$$\left(9 \cdot x - 9 \cdot \frac{11}{9}\right)(x + 1) = (9x - 11)(x + 1)$$

Ответ: $(9x - 11)(x + 1)$