номер 1, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а) $6x^2 - x - 1 = 0$

Решение:
Это полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a = 6$, $b = -1$, $c = -1$.

Найдём дискриминант уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня:
$\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$.

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

$$x_1 = \frac{-(-1) + 5}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 0{,}5$$

$$x_2 = \frac{-(-1) - 5}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$$

Ответ: $x_1 = 0{,}5$; $x_2 = -\frac{1}{3}$.

б) $36x^2 - 49 = 0$

Решение:
Это неполное квадратное уравнение, в котором коэффициент $b = 0$.
Перенесём свободный член в правую часть уравнения:

$$36x^2 = 49$$

Разделим обе части на $36$:

$$x^2 = \frac{49}{36}$$

Извлечём квадратный корень:

$$x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{49}{36}} = \pm \frac{7}{6} = \pm 1\frac{1}{6}$$

Ответ: $x_1 = -1\frac{1}{6}$; $x_2 = 1\frac{1}{6}$.

в) $7x^2 = 42x$

Решение:
Это неполное квадратное уравнение. Перенесём слагаемое $42x$ в левую часть, чтобы справа остался нуль:

$$7x^2 - 42x = 0$$

Вынесем общий множитель $7x$ за скобки:

$$7x(x - 6) = 0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$7x = 0 \quad \text{или} \quad x - 6 = 0$$

$$x_1 = 0 \quad \text{или} \quad x_2 = 6$$

Ответ: $x_1 = 0$; $x_2 = 6$.

г) $(x - 3)^2 - 2(x - 3) - 24 = 0$

Решение:
Решим данное уравнение методом введения новой переменной.
Пусть $t = x - 3$.

Тогда исходное уравнение принимает вид квадратного относительно $t$:

$$t^2 - 2t - 24 = 0$$

Найдём корни с помощью дискриминанта ($a = 1$, $b = -2$, $c = -24$):

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$$

$$\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$$

$$t_{1,2} = \frac{2 \pm 10}{2}$$

$$t_1 = \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

$$t_2 = \frac{2 - 10}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

Вернёмся к замене $x - 3 = t$:

1) $x - 3 = 6 \implies x_1 = 6 + 3 = 9$

2) $x - 3 = -4 \implies x_2 = -4 + 3 = -1$

Ответ: $x_1 = 9$; $x_2 = -1$.