номер 3, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

3.Дано:

Квадратное уравнение: $x^2 + 2x + k = 0$
Связь между корнями: $2x_1 + 3x_2 = 0$

Найти: корни $x_1$, $x_2$ и коэффициент $k$.

Решение:

Уравнение $x^2 + 2x + k = 0$ является приведённым квадратным уравнением вида $x^2 + px + q = 0$, где коэффициенты равны: $p = 2$, $q = k$.

По теореме Виета сумма и произведение корней квадратного уравнения равны:

$$x_1 + x_2 = -p = -2$$

$$x_1 \cdot x_2 = q = k$$

По условию задачи также задано соотношение между корнями: $2x_1 + 3x_2 = 0$. Объединим два равенства с корнями в систему уравнений:

$$\begin{cases} x_1 + x_2 = -2 \\ 2x_1 + 3x_2 = 0 \end{cases}$$

Решим эту систему методом подстановки. Выразим $x_1$ из первого уравнения:

$$x_1 = -2 - x_2$$

Подставим полученное выражение для $x_1$ во второе уравнение:

$$2(-2 - x_2) + 3x_2 = 0$$

$$-4 - 2x_2 + 3x_2 = 0$$

$$x_2 - 4 = 0$$

$$x_2 = 4$$

Теперь найдём значение первого корня $x_1$:

$$x_1 = -2 - 4 = -6$$

Зная оба корня, найдём коэффициент $k$ по формуле теоремы Виета:

$$k = x_1 \cdot x_2 = -6 \cdot 4 = -24$$

Проверка:
Подставим найденное значение $k$ в исходное уравнение: $x^2 + 2x - 24 = 0$.
Дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 = 10^2 > 0$ (уравнение действительно имеет два корня).
Корни уравнения: $x = \frac{-2 \pm 10}{2}$, то есть $x = -6$ и $x = 4$, что полностью совпадает с решением.

Проверим условие: $2 \cdot (-6) + 3 \cdot 4 = -12 + 12 = 0$ — равенство выполняется.

Ответ: $x_1 = -6$, $x_2 = 4$, $k = -24$.