Номер 3, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

3.Дано:
Уравнение: $x^2 - 4x + q = 0$
Первый корень: $x_1 = 2 - \sqrt{5}$

Найти:
$x_2$ — второй корень,
$q$ — коэффициент.

Решение:

Уравнение $x^2 - 4x + q = 0$ является приведённым квадратным уравнением вида $x^2 + px + q = 0$, где $p = -4$, а свободный член равен $q$.

По теореме Виета сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену:

$$\begin{cases} x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \cdot x_2 = q \end{cases}$$

Так как $p = -4$, получаем:

$$x_1 + x_2 = -(-4) = 4$$

1) Найдём второй корень $x_2$:
Подставим значение корня $x_1 = 2 - \sqrt{5}$ в выражение для суммы корней:

$$(2 - \sqrt{5}) + x_2 = 4$$

$$x_2 = 4 - (2 - \sqrt{5})$$

$$x_2 = 4 - 2 + \sqrt{5}$$

$$x_2 = 2 + \sqrt{5}$$

2) Найдём коэффициент $q$:
Используем второе соотношение из теоремы Виета и формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:

$$q = x_1 \cdot x_2 = (2 - \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})$$

$$q = 2^2 - (\sqrt{5})^2$$

$$q = 4 - 5$$

$$q = -1$$

Ответ: $x_2 = 2 + \sqrt{5}$; $q = -1$.