номер 1, страница 81 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а)$3x^2 - 7x + 2 = 0$

Решение:
Это полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a = 3$, $b = -7$, $c = 2$.
Найдем дискриминант уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$$

$$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Ответ: $\frac{1}{3}; 2$.

б)$25x^2 - 81 = 0$

Решение:
Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$$25x^2 = 81$$

Разделим обе части на коэффициент перед $x^2$:

$$x^2 = \frac{81}{25}$$

Извлечем квадратный корень:

$$x = \pm \sqrt{\frac{81}{25}}$$

$$x_1 = \frac{9}{5} = 1{,}8; \quad x_2 = -\frac{9}{5} = -1{,}8$$

Ответ: $-1{,}8; 1{,}8$.

в)$6x^2 = 18x$

Решение:
Перенесем слагаемое $18x$ в левую часть, чтобы справа остался нуль:

$$6x^2 - 18x = 0$$

Разложим левую часть на множители, вынеся общий множитель $6x$ за скобки:

$$6x(x - 3) = 0$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$6x = 0 \quad \text{или} \quad x - 3 = 0$$

$$x_1 = 0 \quad \text{или} \quad x_2 = 3$$

Ответ: $0; 3$.

г)$(x - 2)^2 - 3(x - 2) - 54 = 0$

Решение:
Решим данное уравнение методом введения новой переменной.
Пусть $t = x - 2$. Тогда исходное уравнение примет вид:

$$t^2 - 3t - 54 = 0$$

Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения ($a = 1$, $b = -3$, $c = -54$):

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225 = 15^2$$

Найдем значения переменной $t$:

$$t_1 = \frac{-(-3) + 15}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 15}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

$$t_2 = \frac{-(-3) - 15}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 15}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$

Вернемся к исходной переменной $x$ и выполним обратную замену:

1) При $t = 9$:
$x - 2 = 9$
$x_1 = 9 + 2$
$x_1 = 11$

2) При $t = -6$:
$x - 2 = -6$
$x_2 = -6 + 2$
$x_2 = -4$

Ответ: $-4; 11$.