Номер 1, страница 81 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а)$3x^2 - 5x - 8 = 0$

Решение:
Это полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 3$, $b = -5$, $c = -8$.
Найдем дискриминант уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121$$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.
Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$$x_1 = \frac{-(-5) + 11}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 11}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$$

$$x_2 = \frac{-(-5) - 11}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 11}{6} = \frac{-6}{6} = -1$$

Ответ: $-1$; $2\frac{2}{3}$.

б)$49x^2 - 4 = 0$

Решение:
Это неполное квадратное уравнение, где коэффициент $b = 0$. Перенесем свободный член в правую часть:

$$49x^2 = 4$$

Разделим обе части уравнения на $49$:

$$x^2 = \frac{4}{49}$$

Отсюда находим корни:

$$x = \pm\sqrt{\frac{4}{49}}$$

$$x_1 = \frac{2}{7}, \quad x_2 = -\frac{2}{7}$$

Ответ: $-\frac{2}{7}$; $\frac{2}{7}$.

в)$7x^2 = 21x$

Решение:
Перенесем слагаемое $21x$ в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль:

$$7x^2 - 21x = 0$$

Вынесем общий множитель $7x$ за скобки:

$$7x(x - 3) = 0$$

Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$7x = 0$ или $x - 3 = 0$

$x_1 = 0$ или $x_2 = 3$

Ответ: $0$; $3$.

г)$(x - 1)^2 + 3(x - 1) - 4 = 0$

Решение:
Решим данное уравнение методом введения новой переменной. Пусть $t = x - 1$.
Подставим $t$ в исходное уравнение:

$$t^2 + 3t - 4 = 0$$

Найдем дискриминант для переменной $t$:

$$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

Корни уравнения относительно $t$:

$$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

Вернемся к исходной переменной $x$:

1) $x - 1 = 1 \implies x_1 = 1 + 1 = 2$

2) $x - 1 = -4 \implies x_2 = -4 + 1 = -3$

Ответ: $-3$; $2$.