номер 3, страница 78 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

3.Решение:

Чтобы сравнить два иррациональных выражения, внесём множители перед знаками корней под знак квадратного корня, используя свойство $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$ (при $a \ge 0$).

1. Преобразуем первое число:

$$7\sqrt{\frac{1}{14}} = \sqrt{7^2 \cdot \frac{1}{14}} = \sqrt{\frac{49}{14}} = \sqrt{\frac{7}{2}} = \sqrt{3{,}5}$$

2. Преобразуем второе число:

$$\frac{1}{5}\sqrt{75} = \sqrt{\left(\frac{1}{5}\right)^2 \cdot 75} = \sqrt{\frac{1}{25} \cdot 75} = \sqrt{\frac{75}{25}} = \sqrt{3}$$

3. Сравним полученные подкоренные выражения:

Так как функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей при $x \ge 0$, то большему значению подкоренного выражения соответствует большее значение корня:

$$3{,}5 > 3 \implies \sqrt{3{,}5} > \sqrt{3}$$

Следовательно, исходные выражения соотносятся следующим образом:

$$7\sqrt{\frac{1}{14}} > \frac{1}{5}\sqrt{75}$$

Ответ: $7\sqrt{\frac{1}{14}} > \frac{1}{5}\sqrt{75}$