Номер 43, страница 78, часть 2 - гдз по физике 8 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Глава III. Электрические явления. Параграф 18. Закон Ома для участка цепи. Удельное сопротивление вещества - номер 43, страница 78.

Условие.

43. Какой из двух алюминиевых проводов одинаковой массы имеет большее сопротивление и во сколько раз большее, если диаметр первого провода в 2 раза больше диаметра второго?

Решение.

Дано:

$m_1 = m_2 = m$ (массы проводов одинаковы)

Провода алюминиевые, следовательно, удельное электрическое сопротивление $\rho$ и плотность $\rho_d$ у них одинаковы.

$d_1 = 2d_2$ (диаметр первого провода в 2 раза больше диаметра второго)

Найти:

Какой из проводов имеет большее сопротивление и во сколько раз? Найти отношение $\frac{R_{большее}}{R_{меньшее}}$.

Решение:

Сопротивление проводника определяется по формуле: $R = \rho \frac{L}{S}$, где $\rho$ – удельное сопротивление материала, $\text{L}$ – длина проводника, $\text{S}$ – площадь поперечного сечения.

Масса проводника связана с его объемом $\text{V}$ и плотностью $\rho_d$ соотношением $m = \rho_d V$. Так как провод имеет форму цилиндра, его объем равен $V = S \cdot L$. Таким образом, масса провода равна $m = \rho_d S L$.

По условию задачи, массы проводов одинаковы ($m_1 = m_2$). Выразим из формулы для массы длину проводника: $L = \frac{m}{\rho_d S}$.

Теперь подставим это выражение для длины $\text{L}$ в формулу для сопротивления $\text{R}$:

$R = \rho \frac{1}{S} \cdot \left(\frac{m}{\rho_d S}\right) = \frac{\rho m}{\rho_d S^2}$

Площадь поперечного сечения провода связана с его диаметром $\text{d}$ по формуле: $S = \frac{\pi d^2}{4}$.

Подставим выражение для площади $\text{S}$ в нашу формулу для сопротивления:

$R = \frac{\rho m}{\rho_d \left(\frac{\pi d^2}{4}\right)^2} = \frac{\rho m}{\rho_d \frac{\pi^2 d^4}{16}} = \frac{16 \rho m}{\rho_d \pi^2 d^4}$

Из полученной формулы видно, что при одинаковых материале ( $\rho$ и $\rho_d$ постоянны) и массе ($\text{m}$ постоянна), сопротивление проводника обратно пропорционально четвертой степени его диаметра: $R \sim \frac{1}{d^4}$.

Это означает, что провод с меньшим диаметром будет иметь большее сопротивление. По условию $d_1 = 2d_2$, значит, диаметр второго провода $d_2$ меньше. Следовательно, сопротивление второго провода $R_2$ будет больше сопротивления первого провода $R_1$.

Найдем, во сколько раз сопротивление второго провода больше. Для этого составим отношение их сопротивлений:

$\frac{R_2}{R_1} = \frac{\frac{16 \rho m}{\rho_d \pi^2 d_2^4}}{\frac{16 \rho m}{\rho_d \pi^2 d_1^4}} = \frac{d_1^4}{d_2^4} = \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^4$

Так как по условию $\frac{d_1}{d_2} = 2$, получаем:

$\frac{R_2}{R_1} = 2^4 = 16$

Таким образом, сопротивление второго провода в 16 раз больше сопротивления первого.

Ответ: Большее сопротивление имеет второй провод (тот, у которого диаметр меньше). Его сопротивление в 16 раз больше, чем у первого провода.