Номер 39, страница 78, часть 2 - гдз по физике 8 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Глава III. Электрические явления. Параграф 18. Закон Ома для участка цепи. Удельное сопротивление вещества - номер 39, страница 78.

Условие.

39. Железную проволоку какой длины надо взять, чтобы её сопротивление было таким же, как сопротивление 10 м алюминиевой проволоки сечением $4 \text{ мм}^2$? Площадь поперечного сечения железной проволоки $2 \text{ мм}^2$.

Решение.

Дано:

Длина алюминиевой проволоки $l_{Al} = 10 \text{ м}$

Площадь сечения алюминиевой проволоки $S_{Al} = 4 \text{ мм}^2$

Площадь сечения железной проволоки $S_{Fe} = 2 \text{ мм}^2$

Сопротивление железной проволоки равно сопротивлению алюминиевой: $R_{Fe} = R_{Al}$

Удельное сопротивление алюминия $\rho_{Al} = 0.028 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$

Удельное сопротивление железа $\rho_{Fe} = 0.1 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$

Перевод в СИ:

$S_{Al} = 4 \text{ мм}^2 = 4 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

$S_{Fe} = 2 \text{ мм}^2 = 2 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

$\rho_{Al} = 0.028 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} = 2.8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

$\rho_{Fe} = 0.1 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} = 1.0 \cdot 10^{-7} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Найти:

Длину железной проволоки $l_{Fe}$

Решение:

Сопротивление проводника вычисляется по формуле $R = \rho \frac{l}{S}$, где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $\text{l}$ — длина проводника, а $\text{S}$ — площадь его поперечного сечения.

По условию задачи, сопротивление железной проволоки ($R_{Fe}$) равно сопротивлению алюминиевой проволоки ($R_{Al}$):

$R_{Fe} = R_{Al}$

Подставим формулу сопротивления для каждой проволоки в это равенство:

$\rho_{Fe} \frac{l_{Fe}}{S_{Fe}} = \rho_{Al} \frac{l_{Al}}{S_{Al}}$

Из этого уравнения выразим искомую длину железной проволоки $l_{Fe}$:

$l_{Fe} = l_{Al} \cdot \frac{\rho_{Al}}{\rho_{Fe}} \cdot \frac{S_{Fe}}{S_{Al}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Для удобства вычислений будем использовать площади в $\text{мм}^2$ и удельные сопротивления в $\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$, так как единицы измерения сократятся:

$l_{Fe} = 10 \text{ м} \cdot \frac{0.028 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}}{0.1 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}} \cdot \frac{2 \text{ мм}^2}{4 \text{ мм}^2}$

Выполним вычисления:

$l_{Fe} = 10 \cdot \frac{0.028}{0.1} \cdot \frac{2}{4} \text{ м} = 10 \cdot 0.28 \cdot 0.5 \text{ м} = 1.4 \text{ м}$

Ответ: чтобы сопротивление железной проволоки было таким же, как у алюминиевой, её длина должна быть 1,4 м.