Номер 28.55, страница 148 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Оптические явления. 28. Линзы - номер 28.55, страница 148.

Условие.

28.55. Определите построением положение фокусов линзы, если $\text{A}$ — светящаяся точка, $A_1$ — ее изображение, $MN$ — главная оптическая ось линзы (рис. 177).

Рис. 177

Решение.

Решение

Для определения положения фокусов линзы необходимо использовать правила построения изображений в тонких линзах, основанные на поведении характерных лучей.

1. Нахождение оптического центра линзы ($\text{O}$). Один из характерных лучей — это луч, проходящий через оптический центр линзы. Такой луч не испытывает преломления. Это означает, что светящаяся точка $\text{A}$ (предмет), её изображение $A_1$ и оптический центр линзы $\text{O}$ лежат на одной прямой. Соединив точки $\text{A}$ и $A_1$ прямой линией, мы найдем точку её пересечения с главной оптической осью $\text{MN}$. Эта точка и является оптическим центром $\text{O}$. На рисунке видно, что эта прямая пересекает ось $\text{MN}$ в том же месте, где изображена линза.

2. Нахождение заднего главного фокуса ($\text{F}$). Другой характерный луч — это луч, идущий от источника параллельно главной оптической оси. После преломления в собирающей линзе этот луч проходит через её главный фокус. Поскольку $A_1$ является изображением точки $\text{A}$, то любой луч, вышедший из $\text{A}$ и прошедший через линзу, должен пересечься в точке $A_1$.

   Выполним построение:

   1. Из точки $\text{A}$ проведём луч, параллельный главной оптической оси $\text{MN}$, до его пересечения с плоскостью линзы в точке $\text{B}$.

   2. Соединим точку $\text{B}$ с точкой изображения $A_1$. Прямая $BA_1$ представляет собой ход луча после преломления в линзе.

   3. Точка пересечения этой прямой $BA_1$ с главной оптической осью $\text{MN}$ и есть задний главный фокус линзы $\text{F}$.

3. Нахождение переднего главного фокуса ($F'$). Для тонкой линзы фокусные расстояния с обеих сторон одинаковы. Передний главный фокус $F'$ расположен на главной оптической оси симметрично заднему фокусу $\text{F}$ относительно оптического центра $\text{O}$.

Применим этот метод к данным на рисунке. Примем сторону одной клетки за единицу длины и разместим оптический центр $\text{O}$ в начале координат $(0, 0)$.

• Точка $\text{A}$ имеет координаты $(-2, 1)$.

• Изображение $A_1$ имеет координаты $(2, -1)$.

• Луч, идущий из $\text{A}$ параллельно оси, пересекает плоскость линзы (ось $\text{y}$) в точке $\text{B}$ с координатами $(0, 1)$.

• Преломленный луч проходит через точки $B(0, 1)$ и $A_1(2, -1)$. Найдем точку пересечения этого луча с главной оптической осью (осью $\text{x}$, где $y=0$). Для этого составим уравнение прямой, проходящей через точки $\text{B}$ и $A_1$:

  $ \frac{y - y_B}{y_{A_1} - y_B} = \frac{x - x_B}{x_{A_1} - x_B} $

  $ \frac{y - 1}{-1 - 1} = \frac{x - 0}{2 - 0} $

  $ \frac{y - 1}{-2} = \frac{x}{2} $

  $ y - 1 = -x \implies y = -x + 1 $

  Подставим $y=0$ для нахождения точки пересечения с осью $\text{MN}$:

  $ 0 = -x + 1 \implies x = 1 $

Таким образом, задний главный фокус $\text{F}$ находится в точке с координатой $x=1$, то есть на расстоянии одной клетки вправо от центра линзы. Передний главный фокус $F'$ симметричен ему и находится на расстоянии одной клетки влево от центра линзы, в точке с координатой $x=-1$.

Ответ: Фокусы линзы расположены на главной оптической оси на расстоянии одной клетки от оптического центра с обеих сторон линзы.