Страница 246 - гдз по физике 8 класс учебник Пёрышкин, Иванов

51. Девочка стоит перед плоским зеркалом на расстоянии 0,5 м от него. Чему будет равно расстояние между ней и её изображением в зеркале, если девочка отступит на 1 м дальше от зеркала?

Дано:

Начальное расстояние от девочки до зеркала: $d_1 = 0,5 \text{ м}$

Расстояние, на которое девочка отступила от зеркала: $\Delta d = 1 \text{ м}$

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Конечное расстояние между девочкой и её изображением $L$.

Решение:

Сначала определим новое расстояние от девочки до зеркала после того, как она отступила. Изначально она находилась на расстоянии $d_1 = 0,5 \text{ м}$ и отошла еще на $\Delta d = 1 \text{ м}$. Новое расстояние, обозначим его $d_2$, будет равно сумме начального расстояния и расстояния, на которое она отошла:

$d_2 = d_1 + \Delta d = 0,5 \text{ м} + 1 \text{ м} = 1,5 \text{ м}$

Согласно законам оптики, изображение в плоском зеркале является мнимым и находится за зеркалом на таком же расстоянии, на каком предмет находится перед зеркалом. Таким образом, расстояние от изображения девочки до зеркала $d_{из}$ будет равно новому расстоянию от девочки до зеркала $d_2$:

$d_{из} = d_2 = 1,5 \text{ м}$

Общее расстояние $L$ между девочкой и её изображением складывается из расстояния от девочки до зеркала ($d_2$) и расстояния от зеркала до изображения ($d_{из}$):

$L = d_2 + d_{из} = 1,5 \text{ м} + 1,5 \text{ м} = 3 \text{ м}$

Ответ: расстояние между девочкой и её изображением будет равно 3 м.

52. Как представляется точка, находящаяся над поверхностью воды, для глаза, смотрящего из воды, — приближённой к поверхности или удалённой? Ответ поясните чертежом.

Точка, находящаяся над поверхностью воды, для глаза, смотрящего из воды, будет казаться расположенной дальше от поверхности, чем на самом деле, то есть удалённой.

Это явление объясняется преломлением света на границе двух сред: воздуха и воды.

Решение

Свет от объекта (точки S), находящегося в воздухе, распространяется во все стороны. Лучи света, попадающие на поверхность воды, преломляются, то есть изменяют своё направление.

Воздух является оптически менее плотной средой, чем вода. Показатель преломления воздуха $n_1$ меньше показателя преломления воды $n_2$ ($n_1 \approx 1,00$, $n_2 \approx 1,33$). Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса), при переходе из менее плотной среды в более плотную, луч света отклоняется к нормали (перпендикуляру, проведённому к границе раздела сред в точке падения луча). Это означает, что угол преломления $β$ будет меньше угла падения $α$.

$$ n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta $$

Глаз наблюдателя, находящийся в воде, воспринимает уже преломлённые лучи. Наш мозг, привыкший к прямолинейному распространению света, строит изображение объекта, продолжая эти преломлённые лучи в обратном направлении по прямой линии. Точка S', где пересекаются эти воображаемые прямые, и является видимым (мнимым) изображением объекта.

На представленном чертеже видно, как лучи от объекта S, преломляясь на границе вода-воздух, попадают в глаз наблюдателя. Если мысленно продолжить преломлённые лучи в обратном направлении (пунктирные линии), они пересекутся в точке S', расположенной выше реального объекта S. Таким образом, кажущаяся высота H' будет больше реальной высоты H.

Для лучей, падающих на поверхность воды под небольшим углом (почти перпендикулярно), кажущаяся высота H' связана с действительной высотой H соотношением:

$$ H' \approx n_2 \cdot H $$

Поскольку для воды $n_2 \approx 1,33$, то кажущаяся высота будет примерно в 1,33 раза больше действительной. $H' > H$.

Ответ: Точка, находящаяся над поверхностью воды, для глаза, смотрящего из воды, представляется удалённой от поверхности, так как из-за преломления света на границе воздух-вода её мнимое изображение формируется выше (дальше от поверхности), чем реальное положение объекта.

53. Может ли угол преломления быть равен углу падения?

Да, угол преломления может быть равен углу падения. Рассмотрим, в каких случаях это возможно, основываясь на законе преломления света, также известном как закон Снеллиуса.

Закон преломления света записывается следующей формулой:

$n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \gamma$

где $n_1$ и $n_2$ — это абсолютные показатели преломления первой и второй сред соответственно, $\alpha$ — угол падения (угол между падающим лучом и перпендикуляром к границе раздела сред), а $\gamma$ — угол преломления (угол между преломленным лучом и перпендикуляром).

Мы хотим выяснить, при каких условиях выполняется равенство $\gamma = \alpha$. Подставим это условие в закон преломления:

$n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \alpha$

Перенесем все члены в одну сторону:

$n_1 \sin \alpha - n_2 \sin \alpha = 0$

$(\sin \alpha)(n_1 - n_2) = 0$

Это равенство будет верным, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Рассмотрим оба случая.

1. Первый случай: $\sin \alpha = 0$

Это условие выполняется, если угол падения $\alpha = 0^\circ$. В этом случае и угол преломления $\gamma$ также будет равен $0^\circ$, так как уравнение $n_1 \cdot 0 = n_2 \sin \gamma$ дает $\sin \gamma = 0$. Физически это означает, что световой луч падает перпендикулярно на границу раздела двух сред. При этом он проходит через границу, не меняя своего направления. Таким образом, при перпендикулярном падении угол преломления равен углу падения, и оба они равны нулю.

2. Второй случай: $n_1 - n_2 = 0$

Это условие означает, что показатели преломления сред равны: $n_1 = n_2$. Если свет переходит между средами с одинаковыми оптическими плотностями (например, из воды в воду или из воздуха в воздух), то такая система сред является оптически однородной. В этом случае луч света распространяется прямолинейно, не преломляясь, для любого угла падения. Следовательно, угол преломления всегда будет равен углу падения.

Ответ: Да, может. Это происходит в двух случаях: 1) когда свет падает перпендикулярно на границу раздела двух сред (угол падения и угол преломления равны нулю); 2) когда свет переходит из одной среды в другую с таким же показателем преломления (среды оптически неразличимы).

54. Рассеивающая тонкая линза даёт изображение предмета. Как изменится изображение, если половину линзы закрыть непрозрачным экраном?

Решение

Изображение предмета, создаваемое линзой, формируется в результате преломления лучей, исходящих от каждой точки предмета и проходящих через различные участки линзы. Каждый участок линзы вносит свой вклад в создание полного изображения. Это означает, что даже через небольшую часть линзы проходят лучи от всех точек предмета, и эти лучи (или их продолжения) собираются, чтобы сформировать полное изображение.

Рассеивающая линза всегда создает мнимое, прямое и уменьшенное изображение предмета, расположенное с той же стороны от линзы, что и сам предмет. Положение и размер изображения определяются фокусным расстоянием линзы $F$ и расстоянием от предмета до линзы $d$. Эти параметры связаны формулой тонкой линзы: $$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$$ где $d$ — расстояние от предмета до линзы, $f$ — расстояние от линзы до изображения. Для рассеивающей линзы фокусное расстояние $F$ является отрицательной величиной.

Когда половину линзы закрывают непрозрачным экраном, это не изменяет ни фокусное расстояние линзы (которое определяется кривизной ее поверхностей и показателем преломления материала), ни положение предмета. Оставшаяся открытой половина линзы продолжает функционировать как линза с тем же фокусным расстоянием. Лучи, проходящие через незакрытую часть, будут преломляться точно так же, как и раньше, и их продолжения пересекутся в тех же точках пространства. Следовательно, положение, форма и размер изображения останутся неизменными.

Однако, закрывая половину линзы, мы уменьшаем общую площадь, через которую проходит свет от предмета. Это означает, что в формировании каждой точки изображения будет участвовать меньшее количество световых лучей. Яркость изображения напрямую зависит от количества света, которое его формирует. Поскольку световой поток, проходящий через линзу, уменьшится примерно вдвое, изображение станет значительно тусклее (менее ярким).

Ответ: Положение, размер и ориентация изображения не изменятся. Изображение останется полным, но его яркость уменьшится.

55. У какой линзы оптическая сила равна нулю?

Решение

Оптическая сила линзы $D$ — это физическая величина, которая характеризует её преломляющую способность. Она является обратной к фокусному расстоянию линзы $F$:

$D = \frac{1}{F}$

Чтобы оптическая сила была равна нулю ($D=0$), необходимо, чтобы её фокусное расстояние было бесконечно большим ($F \rightarrow \infty$). Линза с бесконечным фокусным расстоянием не собирает и не рассеивает параллельный пучок лучей; пройдя через такую линзу, лучи остаются параллельными друг другу.

Рассмотрим, какими геометрическими и оптическими свойствами должна обладать линза, чтобы её оптическая сила была равна нулю. Для этого воспользуемся формулой изготовителя тонких линз:

$D = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$

где $n$ — относительный показатель преломления материала линзы (относительно среды, в которой она находится), $R_1$ и $R_2$ — радиусы кривизны её передней и задней поверхностей.

Из этой формулы видно, что оптическая сила $D$ равна нулю в следующих случаях:

1. Когда показатель преломления материала линзы равен показателю преломления окружающей среды. В этом случае $n=1$, и множитель $(n-1)$ становится равным нулю. Физически это означает, что свет проходит через линзу, не преломляясь, так как оптическая плотность линзы и среды одинакова.

2. Когда множитель $\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ равен нулю. Это происходит при условии, что $R_1 = R_2$. Такое равенство возможно для двух типов линз:

• Плоскопараллельная пластина. У неё обе поверхности плоские, а значит, их радиусы кривизны бесконечны ($R_1 = \infty$ и $R_2 = \infty$). Это самый распространённый и очевидный пример. Обычное оконное стекло является плоскопараллельной пластиной.
• Мениск с одинаковыми радиусами кривизны. Это линза, у которой обе поверхности (выпуклая и вогнутая) имеют одинаковый, но не бесконечный радиус кривизны ($R_1 = R_2 \ne \infty$).

Таким образом, существует несколько видов "линз" с нулевой оптической силой.

Ответ: нулевой оптической силой обладает плоскопараллельная пластина (например, кусок плоского стекла), а также линза-мениск, у которой радиусы кривизны обеих поверхностей равны. Кроме того, любая линза, помещенная в среду с таким же показателем преломления, будет иметь нулевую оптическую силу.

56. Укажите дальнейший ход луча света после прохождения собирающей линзы (рис. 173).

Рис. 173

Решение

Для определения дальнейшего хода луча после прохождения через собирающую линзу необходимо воспользоваться одним из основных правил построения лучей в линзах.

Существует три основных "удобных" луча для построения:

1. Луч, параллельный главной оптической оси, после преломления в линзе проходит через её задний фокус.
2. Луч, проходящий через оптический центр линзы ($O$), не преломляется и не меняет своего направления.
3. Луч, проходящий через передний фокус линзы ($F$) до линзы, после преломления в ней распространяется параллельно главной оптической оси. Это правило является следствием принципа обратимости световых лучей (обратное первому правилу).

В данной задаче падающий луч света проходит через передний главный фокус $F$ и попадает на линзу. Согласно третьему правилу, после преломления в собирающей линзе этот луч должен пойти параллельно главной оптической оси.

Среди предложенных на рисунке вариантов (1, 2, 3, 4) траектория, параллельная главной оптической оси, обозначена цифрой 3.

Ответ: 3.

57. Как следует расположить две собирающие линзы, чтобы параллельный пучок света после прохождения через обе линзы остался параллельным?

Решение

Для того чтобы параллельный пучок света после прохождения через две собирающие линзы остался параллельным, необходимо выполнить определенные условия для каждой линзы.

1. Первая собирающая линза.

Параллельный пучок света, падающий на собирающую линзу с фокусным расстоянием $F_1$, после преломления собирается в ее заднем фокусе. Таким образом, после прохождения первой линзы лучи света сходятся в одной точке, которая является фокусом этой линзы.

2. Вторая собирающая линза.

Чтобы из второй собирающей линзы с фокусным расстоянием $F_2$ вышел параллельный пучок света, необходимо, чтобы лучи, падающие на нее, исходили из ее переднего фокуса. То есть, источник света для второй линзы должен находиться в ее фокусе.

3. Комбинация линз.

В системе из двух линз источником света для второй линзы является действительное изображение, созданное первой линзой. Как мы выяснили, это изображение формируется в фокусе первой линзы. Следовательно, чтобы на выходе из второй линзы получить параллельный пучок, нужно, чтобы фокус первой линзы совпал с фокусом второй линзы.

Это означает, что две собирающие линзы нужно расположить так, чтобы их главные оптические оси совпадали (линзы должны быть соосны), а задний фокус первой линзы был совмещен с передним фокусом второй. При таком расположении расстояние $d$ между оптическими центрами линз будет равно сумме их фокусных расстояний: $d = F_1 + F_2$. Такая система называется телескопической (или афокальной).

Ответ: две собирающие линзы следует расположить соосно так, чтобы задний фокус первой линзы совпадал с передним фокусом второй. Расстояние между оптическими центрами линз должно быть равно сумме их фокусных расстояний.

58. Выполняя гимнастику для глаз, человек переводит взгляд с удалённого предмета на метку на оконном стекле. Как при этом меняются фокусное расстояние и оптическая сила хрусталика глаза человека?

Решение

Когда человек выполняет гимнастику для глаз, переводя взгляд с удаленного предмета на близкий, глаз меняет свои оптические характеристики, чтобы сохранить четкое изображение на сетчатке. Этот процесс называется аккомодацией и осуществляется за счет изменения кривизны хрусталика. Расстояние от хрусталика до сетчатки ($f$) при этом остается постоянным.

Оптическую систему глаза можно описать формулой тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

где $F$ — фокусное расстояние хрусталика, $d$ — расстояние до рассматриваемого предмета, а $f$ — расстояние от хрусталика до сетчатки.

Оптическая сила $D$ связана с фокусным расстоянием соотношением $D = \frac{1}{F}$.

При переводе взгляда с удаленного предмета на близкую метку на стекле расстояние до предмета $d$ уменьшается.

Фокусное расстояние

Рассмотрим формулу тонкой линзы: $\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$. Поскольку расстояние до сетчатки $f$ постоянно, слагаемое $\frac{1}{f}$ является константой. Когда расстояние до предмета $d$ уменьшается, величина $\frac{1}{d}$ увеличивается. Следовательно, вся правая часть выражения ($\frac{1}{d} + \frac{1}{f}$) увеличивается. Это означает, что левая часть, $\frac{1}{F}$, также должна увеличиться. Если величина $\frac{1}{F}$ увеличивается, то само фокусное расстояние $F$ должно уменьшиться. Физиологически это достигается за счет напряжения цилиарных мышц, которые делают хрусталик более выпуклым (увеличивают его кривизну).

Ответ: фокусное расстояние уменьшается.

Оптическая сила

Оптическая сила $D$ по определению обратно пропорциональна фокусному расстоянию: $D = \frac{1}{F}$. Как было установлено выше, при переводе взгляда с далекого предмета на близкий величина $\frac{1}{F}$ увеличивается. Следовательно, оптическая сила хрусталика $D$ также увеличивается. Глазу требуется линза с большей преломляющей способностью, чтобы сфокусировать лучи от близко расположенного объекта на сетчатке.

Ответ: оптическая сила увеличивается.

59. Чему равно фокусное расстояние линзы, оптическая сила которой $+2,5 \text{ дптр}$?

Дано:

Оптическая сила линзы $D = +2,5$ дптр

Найти:

Фокусное расстояние $F$ - ?

Решение:

Оптическая сила линзы $(D)$ — это величина, обратная её фокусному расстоянию $(F)$. Связь между этими величинами выражается формулой:

$D = \frac{1}{F}$

где фокусное расстояние $F$ измеряется в метрах (м), а оптическая сила $D$ — в диоптриях (дптр), при этом $1 \text{ дптр} = 1 \text{ м}^{-1}$.

Чтобы найти фокусное расстояние, выразим его из данной формулы:

$F = \frac{1}{D}$

Теперь подставим числовое значение оптической силы линзы в формулу:

$F = \frac{1}{+2,5 \text{ дптр}} = 0,4 \text{ м}$

Положительное значение оптической силы (и, соответственно, фокусного расстояния) указывает на то, что линза является собирающей.

Ответ: фокусное расстояние линзы равно 0,4 м.

60. Какая линза имеет большее фокусное расстояние: оптическая сила которой $+1.5$ или $-3$ дптр?

Дано:

Оптическая сила первой линзы $D_1 = +1.5 \text{ дптр}$

Оптическая сила второй линзы $D_2 = -3 \text{ дптр}$

Найти:

Какая линза имеет большее фокусное расстояние.

Решение:

Оптическая сила линзы $D$ связана с её фокусным расстоянием $F$ формулой:

$F = \frac{1}{D}$

где фокусное расстояние измеряется в метрах (м), а оптическая сила — в диоптриях (дптр), причём $1 \text{ дптр} = 1 \text{ м}^{-1}$.

Вычислим фокусное расстояние для каждой из линз.

1. Для первой линзы с оптической силой $D_1 = +1.5 \text{ дптр}$ (это собирающая линза, так как её оптическая сила положительна):

$F_1 = \frac{1}{D_1} = \frac{1}{1.5} \text{ м} = \frac{1}{3/2} \text{ м} = \frac{2}{3} \text{ м} \approx 0.67 \text{ м}$

2. Для второй линзы с оптической силой $D_2 = -3 \text{ дптр}$ (это рассеивающая линза, так как её оптическая сила отрицательна):

$F_2 = \frac{1}{D_2} = \frac{1}{-3} \text{ м} = -\frac{1}{3} \text{ м} \approx -0.33 \text{ м}$

Чтобы определить, какая линза имеет большее фокусное расстояние, необходимо сравнить абсолютные значения (модули) вычисленных фокусных расстояний, так как знак лишь указывает на тип линзы.

Сравним модули фокусных расстояний:

$|F_1| = |\frac{2}{3}| \text{ м} = \frac{2}{3} \text{ м}$

$|F_2| = |-\frac{1}{3}| \text{ м} = \frac{1}{3} \text{ м}$

Так как $\frac{2}{3} > \frac{1}{3}$, то $|F_1| > |F_2|$.

Следовательно, линза с оптической силой +1,5 дптр имеет большее по модулю фокусное расстояние.

Ответ: большее фокусное расстояние имеет линза с оптической силой +1,5 дптр.