Номер 4, страница 49, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 1. Основы кинематики. Параграф 12. Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Вопросы и задания - номер 4, страница 49.

Условие.

4. Под каким углом к горизонту нужно бросить мяч, чтобы дальность полёта мяча была равна максимальной высоте его подъёма?

Решение.

Дано:

$L = H$

где $\text{L}$ – дальность полёта мяча, $\text{H}$ – максимальная высота подъёма.

Найти:

$\alpha$ – угол броска к горизонту.

Решение:

Запишем формулы для дальности полёта ($\text{L}$) и максимальной высоты подъёма ($\text{H}$) тела, брошенного с начальной скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту, пренебрегая сопротивлением воздуха.

Максимальная высота подъёма определяется по формуле:

$H = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$

где $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Дальность полёта определяется по формуле:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Согласно условию задачи, дальность полёта равна максимальной высоте подъёма: $L = H$.

Приравняем правые части выражений для $\text{L}$ и $\text{H}$:

$\frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$

Сократим обе части уравнения на общий множитель $\frac{v_0^2}{g}$, так как начальная скорость и ускорение свободного падения не равны нулю:

$\sin(2\alpha) = \frac{\sin^2\alpha}{2}$

Воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

$2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{2}$

Поскольку для осуществления броска угол $\alpha$ должен быть больше нуля, $\sin\alpha \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $\sin\alpha$:

$2\cos\alpha = \frac{\sin\alpha}{2}$

Теперь выразим тангенс угла $\alpha$, который равен отношению $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$:

$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2 \cdot 2 = 4$

$\tan\alpha = 4$

Отсюда находим сам угол $\alpha$:

$\alpha = \arctan(4)$

Численное значение этого угла составляет примерно $75.96^\circ$.

Ответ: Чтобы дальность полёта мяча была равна максимальной высоте его подъёма, его нужно бросить под углом $\alpha = \arctan(4) \approx 76^\circ$ к горизонту.