Номер 3, страница 163, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 20. Движение системы тел - номер 3, страница 163.

Условие.

3. В подвешенный на нити покоящийся деревянный брусок попадает горизонтально летящая пуля и застревает в нём (рис. 20.3). В результате брусок с пулей начинает совершать колебания. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Рис. 20.3

а) Можно ли считать, что при движении пули внутри бруска их суммарная механическая энергия сохраняется?

б) Можно ли считать, что при движении пули внутри бруска сохраняется их суммарный импульс?

в) Обозначьте $\text{m}$ массу пули, $\text{M}$ — массу бруска, $v_\text{п}$ — скорость пули, $v_\text{б}$ — скорость бруска с пулей сразу после застревания пули в бруске. Запишите уравнение, выражающее закон сохранения импульса в проекции на горизонтально направленную ось $\text{x}$.

г) Сохраняется ли механическая энергия бруска с пулей при его движении после попадания пули в брусок?

д) Запишите уравнение, выражающее сохранение механической энергии бруска с пулей для момента сразу после застревания пули в бруске и момента, когда скорость пули с бруском равна нулю. Обозначьте $\text{h}$ высоту, на которую поднялся брусок по сравнению с начальным положением.

Полученные уравнения, выражающие законы сохранения, представляют собой систему двух уравнений. С их помощью можно, например, выразить скорость пули через массу пули, массу бруска и максимальную высоту, на которую поднимается брусок при колебаниях.

Описанный опыт является действительно одним из способов измерения скорости пули, поэтому описанное устройство называют иногда «баллистический маятник».

е) Выразите скорость пули через $\text{M}$, $\text{m}$, $\text{h}$.

ж) Чему равна скорость пули, если $m = 10$ г, $M = 2$ кг, $h = 20$ см?

Решение.

а) Можно ли считать, что при движении пули внутри бруска их суммарная механическая энергия сохраняется?

Нет, нельзя. Процесс застревания пули в бруске является абсолютно неупругим ударом. При таком взаимодействии часть кинетической энергии системы переходит во внутреннюю энергию (нагревание пули и бруска), а также совершается работа по деформации и разрушению материалов. Следовательно, суммарная механическая энергия системы «пуля-брусок» в момент удара не сохраняется.

Ответ: Нет, суммарная механическая энергия не сохраняется.

б) Можно ли считать, что при движении пули внутри бруска сохраняется их суммарный импульс?

Да, можно. Процесс столкновения происходит за очень короткий промежуток времени. Внешние силы, действующие на систему «пуля-брусок» (сила тяжести и сила натяжения нити), являются конечными по величине, и их импульсом за время удара можно пренебречь. В горизонтальном направлении внешние силы практически отсутствуют. Поэтому систему «пуля-брусок» можно считать замкнутой в горизонтальном направлении, и ее суммарный импульс в проекции на горизонтальную ось сохраняется.

Ответ: Да, суммарный импульс сохраняется.

в) Обозначьте m массу пули, M – массу бруска, $v_п$ – скорость пули, $v_б$ – скорость бруска с пулей сразу после застревания пули в бруске. Запишите уравнение, выражающее закон сохранения импульса в проекции на горизонтально направленную ось x.

Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс системы до взаимодействия равен суммарному импульсу системы после взаимодействия. Направим ось $\text{x}$ горизонтально по направлению движения пули.

Импульс системы до столкновения: $p_{до} = m v_п + M \cdot 0 = m v_п$.

Импульс системы сразу после столкновения, когда пуля и брусок движутся вместе со скоростью $v_б$: $p_{после} = (m+M)v_б$.

Приравнивая импульсы, получаем уравнение:

$m v_п = (m+M)v_б$

Ответ: $m v_п = (m+M)v_б$.

г) Сохраняется ли механическая энергия бруска с пулей при его движении после попадания пули в брусок?

Да, сохраняется. После того как пуля застряла в бруске, система «пуля-брусок» движется под действием силы тяжести и силы натяжения нити. Сопротивлением воздуха по условию пренебрегаем. Сила тяжести является консервативной силой. Сила натяжения нити всегда перпендикулярна вектору скорости движения бруска, поэтому ее работа равна нулю. Так как работа неконсервативных сил равна нулю, полная механическая энергия системы сохраняется.

Ответ: Да, механическая энергия сохраняется.

д) Запишите уравнение, выражающее сохранение механической энергии бруска с пулей для момента сразу после застревания пули в бруске и момента, когда скорость пули с бруском равна нулю. Обозначьте h высоту, на которую поднялся брусок по сравнению с начальным положением.

Применим закон сохранения механической энергии. За нулевой уровень потенциальной энергии примем начальное положение бруска.

В момент сразу после застревания пули (нижняя точка траектории) система обладает кинетической энергией, а ее потенциальная энергия равна нулю: $E_1 = E_к + E_п = \frac{(m+M)v_б^2}{2} + 0$.

В момент достижения максимальной высоты $\text{h}$ (верхняя точка траектории) скорость системы становится равной нулю, а потенциальная энергия максимальна: $E_2 = E_к + E_п = 0 + (m+M)gh$.

Так как механическая энергия сохраняется, $E_1 = E_2$.

$\frac{(m+M)v_б^2}{2} = (m+M)gh$

Ответ: $\frac{(m+M)v_б^2}{2} = (m+M)gh$.

е) Выразите скорость пули через M, m, h.

Для нахождения скорости пули $v_п$ используем систему из двух уравнений, полученных в пунктах в) и д):

1) $m v_п = (m+M)v_б$ (Закон сохранения импульса)

2) $\frac{(m+M)v_б^2}{2} = (m+M)gh$ (Закон сохранения энергии)

Из второго уравнения выразим скорость бруска с пулей $v_б$. Сократим обе части на $(m+M)$:

$\frac{v_б^2}{2} = gh \implies v_б = \sqrt{2gh}$

Подставим полученное выражение для $v_б$ в первое уравнение:

$m v_п = (m+M)\sqrt{2gh}$

Отсюда выражаем искомую скорость пули $v_п$:

$v_п = \frac{m+M}{m}\sqrt{2gh}$

Ответ: $v_п = \frac{m+M}{m}\sqrt{2gh}$.

ж) Чему равна скорость пули, если m = 10 г, M = 2 кг, h = 20 см?

Дано:

$m = 10$ г
$M = 2$ кг
$h = 20$ см

Переведем данные в систему СИ:
$m = 10 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0.01$ кг
$M = 2$ кг
$h = 20 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.2$ м
Примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \frac{м}{с^2}$.

Найти:

$v_п$

Решение:

Используем формулу, выведенную в пункте е):

$v_п = \frac{m+M}{m}\sqrt{2gh}$

Подставим числовые значения в формулу:

$v_п = \frac{0.01 \text{ кг} + 2 \text{ кг}}{0.01 \text{ кг}}\sqrt{2 \cdot 9.8 \frac{м}{с^2} \cdot 0.2 \text{ м}}$

$v_п = \frac{2.01}{0.01}\sqrt{3.92} \frac{м}{с}$

$v_п = 201 \cdot \sqrt{3.92} \frac{м}{с} \approx 201 \cdot 1.9799 \frac{м}{с} \approx 397.98 \frac{м}{с}$

Округлим результат до целого числа.

$v_п \approx 398 \frac{м}{с}$

Ответ: $v_п \approx 398$ м/с.