Номер 5, страница 164, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 20. Движение системы тел - номер 5, страница 164.

Условие.

5. На гладком столе покоится гладкая горка массой $\text{M}$. На неё налетает шайба массой $\text{m}$ и поднимается до высоты $\text{h}$, меньшей высоты горки.

a) Обозначьте $\text{v}$ начальную скорость шайбы, $\text{V}$ — скорость горки с шайбой в момент, когда шайба достигла максимальной высоты. Запишите уравнение, выражающее сохранение проекции суммарного импульса горки и шайбы на горизонтальную ось $\text{x}$.

б) Выразите скорость горки с шайбой в момент, когда шайба достигла максимальной высоты, через массы горки и шайбы и начальную скорость шайбы.

в) Чему равна начальная скорость шайбы $\text{v}$?

г) Как будут двигаться шайба и горка после того, как шайба достигнет максимальной высоты?

Решение.

Дано:

Масса горки: $\text{M}$

Масса шайбы: $\text{m}$

Начальная скорость горки: $\text{0}$

Начальная скорость шайбы: $\text{v}$

Максимальная высота подъема шайбы: $\text{h}$

Скорость системы в момент подъема на максимальную высоту: $\text{V}$

Найти:

а) Уравнение сохранения импульса

б) $\text{V}$

в) $\text{v}$

г) Характер движения шайбы и горки после достижения максимальной высоты

Решение:

Рассмотрим систему тел "горка + шайба". Поскольку стол и горка гладкие, трение отсутствует. В горизонтальном направлении на систему не действуют внешние силы, поэтому проекция суммарного импульса системы на горизонтальную ось $\text{x}$ сохраняется. Также, так как нет диссипативных сил (трения), полная механическая энергия системы сохраняется.

а) Обозначьте $\text{v}$ начальную скорость шайбы, $\text{V}$ — скорость горки с шайбой в момент, когда шайба достигла максимальной высоты. Запишите уравнение, выражающее сохранение проекции суммарного импульса горки и шайбы на горизонтальную ось x.

Запишем закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось $\text{x}$.

Начальный импульс системы (до взаимодействия): шайба движется со скоростью $\text{v}$, горка покоится.$p_{x\ нач} = mv + M \cdot 0 = mv$

В момент, когда шайба достигает максимальной высоты $\text{h}$, её вертикальная скорость относительно горки равна нулю. Это означает, что шайба и горка движутся как единое целое с некоторой общей горизонтальной скоростью $\text{V}$.

Конечный импульс системы (в момент достижения высоты $\text{h}$):$p_{x\ кон} = mV + MV = (m + M)V$

Согласно закону сохранения импульса, $p_{x\ нач} = p_{x\ кон}$.$mv = (m + M)V$

Ответ: Уравнение, выражающее сохранение проекции суммарного импульса на горизонтальную ось: $mv = (m + M)V$.

б) Выразите скорость горки с шайбой в момент, когда шайба достигла максимальной высоты, через массы горки и шайбы и начальную скорость шайбы.

Выразим скорость $\text{V}$ из уравнения, полученного в пункте а):$mv = (m + M)V$

Отсюда, $V = \frac{mv}{m + M}$.

Ответ: Скорость горки с шайбой в момент, когда шайба достигла максимальной высоты: $V = \frac{mv}{m + M}$.

в) Чему равна начальная скорость шайбы $\text{v}$?

Для нахождения начальной скорости шайбы $\text{v}$ воспользуемся законом сохранения механической энергии.

Начальная энергия системы (до взаимодействия), принимая потенциальную энергию на уровне стола равной нулю:$E_{нач} = E_{к.шайбы} + E_{к.горки} + E_{п.системы} = \frac{mv^2}{2} + 0 + 0 = \frac{mv^2}{2}$

Конечная энергия системы (в момент достижения высоты $\text{h}$):$E_{кон} = E_{к.системы} + E_{п.системы} = \frac{(m + M)V^2}{2} + mgh$

Согласно закону сохранения энергии, $E_{нач} = E_{кон}$:$\frac{mv^2}{2} = \frac{(m + M)V^2}{2} + mgh$

Подставим в это уравнение выражение для $\text{V}$ из пункта б): $V = \frac{mv}{m + M}$.$\frac{mv^2}{2} = \frac{(m + M)}{2} \left( \frac{mv}{m + M} \right)^2 + mgh$$\frac{mv^2}{2} = \frac{(m + M)}{2} \frac{m^2v^2}{(m + M)^2} + mgh$$\frac{mv^2}{2} = \frac{m^2v^2}{2(m + M)} + mgh$

Разделим обе части на $\text{m}$ (так как $m \neq 0$) и умножим на 2:$v^2 = \frac{mv^2}{m + M} + 2gh$

Перенесем слагаемое с $v^2$ в левую часть:$v^2 - \frac{mv^2}{m + M} = 2gh$$v^2 \left( 1 - \frac{m}{m + M} \right) = 2gh$$v^2 \left( \frac{m + M - m}{m + M} \right) = 2gh$$v^2 \frac{M}{m + M} = 2gh$

Отсюда выразим $v^2$:$v^2 = 2gh \frac{m + M}{M}$

И, наконец, $\text{v}$:$v = \sqrt{2gh \frac{m + M}{M}} = \sqrt{2gh \left(1 + \frac{m}{M}\right)}$

Ответ: Начальная скорость шайбы $v = \sqrt{2gh \frac{m + M}{M}}$.

г) Как будут двигаться шайба и горка после того, как шайба достигнет максимальной высоты?

После достижения максимальной высоты $\text{h}$ шайба под действием силы тяжести начнет соскальзывать с горки обратно. Поскольку все поверхности гладкие и взаимодействие упругое, механическая энергия системы сохраняется. Шайба, соскользнув с горки, вернется на первоначальный уровень ($h=0$). В результате этого процесса произойдет перераспределение скоростей между шайбой и горкой.

После того, как шайба съедет с горки, они будут двигаться поступательно вдоль горизонтальной оси $\text{x}$ с постоянными скоростями. Скорость горки всегда будет направлена в первоначальном направлении движения шайбы. Направление движения шайбы будет зависеть от соотношения масс: если масса шайбы больше массы горки ($m > M$), шайба продолжит движение в том же направлении; если масса шайбы меньше массы горки ($m < M$), шайба отскочит и будет двигаться в обратном направлении; если их массы равны ($m = M$), шайба остановится, а горка продолжит движение со скоростью, равной начальной скорости шайбы. Это соответствует результатам решения задачи об упругом столкновении двух тел.

Ответ: После достижения максимальной высоты шайба соскользнет с горки. Затем шайба и горка будут двигаться раздельно с постоянными скоростями по гладкому столу. Горка будет двигаться в первоначальном направлении движения шайбы, а направление движения шайбы будет зависеть от соотношения масс: при $m > M$ она будет двигаться вперед, при $m < M$ - назад, а при $m = M$ - остановится.