Номер 1, страница 161, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 20. Движение системы тел - номер 1, страница 161.

Условие.

1. По гладкому столу скользит шайба (рис. 20.1, а), налетает на покоящуюся горку и поднимается по ней до её вершины, после чего горка и шайба движутся вместе как единое целое (рис. 20.1, б).

Рис. 20.1

а) Сохраняется ли суммарный импульс горки и шайбы при их взаимодействии?

б) Сохраняется ли проекция суммарного импульса горки и шайбы на горизонтальную ось $\text{x}$?

в) Обозначьте $\text{M}$ массу горки, $\text{m}$ — массу шайбы, $v_0$ — начальную скорость шайбы. Запишите уравнение, выражающее сохранение проекции суммарного импульса горки и шайбы на горизонтальную ось $\text{x}$. Обозначьте $\text{V}$ общую скорость шайбы и горки, движущихся в конечном состоянии как единое целое.

Полученное соотношение позволяет, например, найти конечную общую скорость горки и шайбы, если известны начальная скорость шайбы, а также массы горки и шайбы (достаточно знать только отношение их масс).

Мы продвинемся дальше в исследовании этой ситуации, воспользовавшись ещё и законом сохранения энергии в механике.

г) Сохраняется ли суммарная механическая энергия горки и шайбы?

д) Обозначьте $\text{H}$ высоту горки и запишите уравнение, выражающее сохранение суммарной механической энергии горки и шайбы для начального и конечного состояний.

Итак, используя закон сохранения импульса и закон сохранения энергии в механике, мы получили систему двух уравнений. С её помощью можно, например, выразить $v_0$ и $\text{V}$ через $\text{M}$, $\text{m}$ и $\text{H}$.

е) Выразите $v_0$ и $\text{V}$ через $\text{M}$, $\text{m}$ и $\text{H}$.

Решение.

а) Сохраняется ли суммарный импульс горки и шайбы при их взаимодействии?

Нет, суммарный импульс системы «горка + шайба» как векторная величина не сохраняется. На систему действуют внешние силы: сила тяжести ($m\vec{g}$ и $M\vec{g}$) и сила нормальной реакции со стороны стола ($\vec{N}$). Поскольку шайба поднимается на горку, ее вертикальная координата, а следовательно, и координата центра масс всей системы, изменяется. Это означает, что центр масс системы движется с вертикальным ускорением, а значит, сумма внешних сил в вертикальном направлении не равна нулю ($\vec{F}_{внеш, y} \neq 0$). Если сумма внешних сил не равна нулю, полный импульс системы не сохраняется.

Ответ: Нет, не сохраняется.

б) Сохраняется ли проекция суммарного импульса горки и шайбы на горизонтальную ось x?

Да, проекция суммарного импульса на горизонтальную ось $\text{x}$ сохраняется. Все внешние силы, действующие на систему (силы тяжести и сила реакции опоры стола), направлены вертикально. В горизонтальном направлении внешние силы отсутствуют, так как по условию стол гладкий (трение отсутствует). Согласно закону сохранения импульса, если проекция суммы внешних сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция импульса системы на эту ось остается постоянной.

Ответ: Да, сохраняется.

в) Обозначьте M массу горки, m — массу шайбы, v₀ — начальную скорость шайбы. Запишите уравнение, выражающее сохранение проекции суммарного импульса горки и шайбы на горизонтальную ось x. Обозначьте V общую скорость шайбы и горки, движущихся в конечном состоянии как единое целое.

Суммарный импульс системы до взаимодействия в проекции на ось $\text{x}$ равен импульсу шайбы, так как горка покоилась: $p_{x, нач} = m v_0 + M \cdot 0 = m v_0$.
Суммарный импульс системы после взаимодействия, когда шайба и горка движутся как единое целое с общей скоростью $\text{V}$: $p_{x, кон} = (m+M)V$.
Применяя закон сохранения проекции импульса на ось $\text{x}$ ($p_{x, нач} = p_{x, кон}$), получаем уравнение:
$m v_0 = (m+M)V$.

Ответ: $m v_0 = (m+M)V$.

г) Сохраняется ли суммарная механическая энергия горки и шайбы?

Да, в данной идеализированной задаче суммарная механическая энергия сохраняется. По условию, все поверхности гладкие, что означает отсутствие трения — диссипативной силы, работа которой приводила бы к уменьшению механической энергии. Взаимодействие между шайбой и горкой происходит за счет консервативных сил (силы тяжести) и сил нормальной реакции, работа которых в данном случае перераспределяет энергию внутри системы (часть кинетической энергии переходит в потенциальную). При отсутствии неконсервативных сил полная механическая энергия системы сохраняется.

Ответ: Да, сохраняется.

д) Обозначьте H высоту горки и запишите уравнение, выражающее сохранение суммарной механической энергии горки и шайбы для начального и конечного состояний.

Выберем горизонтальную поверхность стола в качестве нулевого уровня потенциальной энергии ($h=0$).
Начальная механическая энергия системы (шайба движется со скоростью $v_0$, горка покоится):
$E_{нач} = E_{к, шайбы} + E_{п, шайбы} + E_{к, горки} = \frac{1}{2}m v_0^2 + 0 + 0 = \frac{1}{2}m v_0^2$.
Конечная механическая энергия системы (шайба и горка движутся вместе со скоростью $\text{V}$, шайба находится на высоте $\text{H}$):
$E_{кон} = E_{к, общая} + E_{п, шайбы} = \frac{1}{2}(m+M)V^2 + mgH$.
Согласно закону сохранения механической энергии, $E_{нач} = E_{кон}$.
Таким образом, уравнение имеет вид: $\frac{1}{2}m v_0^2 = \frac{1}{2}(m+M)V^2 + mgH$.

Ответ: $\frac{1}{2}m v_0^2 = \frac{1}{2}(m+M)V^2 + mgH$.

е) Выразите v₀ и V через M, m и H.

Дано:

Масса горки: $\text{M}$
Масса шайбы: $\text{m}$
Высота горки: $\text{H}$
Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

$v_0$ — начальная скорость шайбы
$\text{V}$ — конечная общая скорость

Решение:

Для решения задачи используем систему из двух уравнений, полученных ранее из законов сохранения:
1) $m v_0 = (m+M)V$ (закон сохранения импульса)
2) $\frac{1}{2}m v_0^2 = \frac{1}{2}(m+M)V^2 + mgH$ (закон сохранения энергии)
Из первого уравнения выразим $v_0$:
$v_0 = \frac{m+M}{m}V$
Подставим это выражение для $v_0$ во второе уравнение:
$\frac{1}{2}m \left(\frac{m+M}{m}V\right)^2 = \frac{1}{2}(m+M)V^2 + mgH$
$\frac{1}{2}m \frac{(m+M)^2}{m^2}V^2 = \frac{1}{2}(m+M)V^2 + mgH$
$\frac{(m+M)^2}{2m}V^2 - \frac{m+M}{2}V^2 = mgH$
Вынесем общий множитель $\frac{m+M}{2}V^2$ за скобки:
$\frac{m+M}{2}V^2 \left(\frac{m+M}{m} - 1\right) = mgH$
$\frac{m+M}{2}V^2 \left(\frac{m+M-m}{m}\right) = mgH$
$\frac{m+M}{2}V^2 \left(\frac{M}{m}\right) = mgH$
Решим уравнение относительно $V^2$:
$V^2 = \frac{2m^2gH}{M(m+M)}$
Отсюда находим $\text{V}$:
$V = \sqrt{\frac{2m^2gH}{M(m+M)}} = m\sqrt{\frac{2gH}{M(m+M)}}$
Теперь найдем $v_0$, подставив выражение для $\text{V}$ в формулу $v_0 = \frac{m+M}{m}V$:
$v_0 = \frac{m+M}{m} \left(m\sqrt{\frac{2gH}{M(m+M)}}\right)$
$v_0 = (m+M)\sqrt{\frac{2gH}{M(m+M)}} = \sqrt{\frac{(m+M)^2 \cdot 2gH}{M(m+M)}} = \sqrt{\frac{2gH(m+M)}{M}}$

Ответ: $v_0 = \sqrt{\frac{2gH(m+M)}{M}}$, $V = m\sqrt{\frac{2gH}{M(m+M)}}$.