Номер 2, страница 159, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 19. Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости - номер 2, страница 159.

Условие.

2. Подвешенный на нити шарик массой 100 г отклонили в сторону так, что натянутая нить составляет угол 60° с вертикалью. Шарик отпускают без толчка. Сопротивлением воздуха можно пренебречь. Чему равна сила натяжения нити в момент, когда шарик проходит положение равновесия?

Решение.

Дано:

$m = 100 \text{ г}$

$\alpha = 60^\circ$

$v_0 = 0 \text{ м/с}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Перевод в систему СИ:

$m = 0.1 \text{ кг}$

Найти:

$\text{T}$ — сила натяжения нити в положении равновесия.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии и вторым законом Ньютона.

1. Закон сохранения энергии.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии положение равновесия шарика (нижнюю точку траектории). В начальный момент, когда шарик отклонен на угол $\alpha = 60^\circ$, он поднят на высоту $\text{h}$ относительно положения равновесия. Если длина нити равна $\text{L}$, то высота $\text{h}$ равна $h = L - L\cos\alpha = L(1-\cos\alpha)$.

Начальная скорость шарика равна нулю ($v_0 = 0$), поэтому его начальная кинетическая энергия $E_{k1} = 0$. Начальная потенциальная энергия равна $E_{p1} = mgh = mgL(1-\cos\alpha)$.

Полная начальная механическая энергия системы: $E_1 = E_{k1} + E_{p1} = mgL(1-\cos\alpha)$.

В момент прохождения положения равновесия высота шарика равна нулю ($h_2 = 0$), поэтому его потенциальная энергия $E_{p2} = 0$. В этой точке шарик имеет максимальную скорость $\text{v}$, и его кинетическая энергия равна $E_{k2} = \frac{mv^2}{2}$.

Полная механическая энергия в положении равновесия: $E_2 = E_{k2} + E_{p2} = \frac{mv^2}{2}$.

Так как сопротивлением воздуха можно пренебречь, полная механическая энергия сохраняется: $E_1 = E_2$.

$mgL(1-\cos\alpha) = \frac{mv^2}{2}$

Отсюда можно выразить квадрат скорости шарика в нижней точке: $v^2 = 2gL(1-\cos\alpha)$.

2. Второй закон Ньютона.

В момент прохождения положения равновесия на шарик действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\text{T}$, направленная вертикально вверх к точке подвеса. Шарик движется по дуге окружности, поэтому его ускорение является центростремительным и направлено также вверх, к центру окружности. Величина этого ускорения $a_c = \frac{v^2}{L}$.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил равна произведению массы на ускорение:

$\vec{T} + m\vec{g} = m\vec{a}_c$

В проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$T - mg = ma_c$

$T - mg = m\frac{v^2}{L}$

3. Расчет силы натяжения.

Подставим выражение для $v^2$ из закона сохранения энергии во второй закон Ньютона:

$T - mg = m\frac{2gL(1-\cos\alpha)}{L}$

Длина нити $\text{L}$ сокращается:

$T - mg = 2mg(1-\cos\alpha)$

Выразим силу натяжения $\text{T}$:

$T = mg + 2mg(1-\cos\alpha) = mg(1 + 2 - 2\cos\alpha) = mg(3 - 2\cos\alpha)$

Теперь подставим числовые значения:

$m = 0.1 \text{ кг}$, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$, $\alpha = 60^\circ$, $\cos(60^\circ) = 0.5$.

$T = 0.1 \cdot 10 \cdot (3 - 2 \cdot 0.5) = 1 \cdot (3 - 1) = 1 \cdot 2 = 2 \text{ Н}$

Ответ: сила натяжения нити в момент, когда шарик проходит положение равновесия, равна 2 Н.