Номер 4, страница 160, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 19. Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости - номер 4, страница 160.

Условие.

4. В нижней точке горизонтально расположенного закреплённого цилиндра радиусом 50 см лежит небольшая шайба (рис. 19.2). Чему равна минимальная начальная горизонтальная скорость $v_0$, которую надо сообщить шайбе, чтобы она совершила полный оборот по окружности? Трением можно пренебречь.

Рис. 19.2

Решение.

Дано:

r = 50 см

Перевод в СИ:

r = 0.5 м

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Найти:

$v_0$ — минимальная начальная скорость.

Решение:

Чтобы шайба совершила полный оборот по внутренней поверхности цилиндра, она не должна отрываться от него в верхней точке траектории. Это означает, что в верхней точке сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ должна быть больше или равна нулю ($N \ge 0$).

Запишем второй закон Ньютона для шайбы в верхней точке окружности. В этой точке на шайбу действуют сила тяжести $mg$ и сила нормальной реакции опоры $\text{N}$. Обе силы направлены вертикально вниз, к центру окружности, и их сумма сообщает шайбе центростремительное ускорение $a_c = \frac{v^2}{r}$, где $\text{v}$ — скорость шайбы в верхней точке.

$mg + N = m \frac{v^2}{r}$

Минимальная начальная скорость $v_0$ соответствует минимально возможной скорости $\text{v}$ в верхней точке. Минимальная скорость в верхней точке будет при условии, что шайба едва касается поверхности, то есть сила нормальной реакции опоры стремится к нулю, $N = 0$.

Тогда условие для минимальной скорости в верхней точке ($v_{min}$) будет:

$mg = m \frac{v_{min}^2}{r}$

Отсюда получаем квадрат минимальной скорости в верхней точке:

$v_{min}^2 = gr$

Поскольку трением можно пренебречь, для системы "шайба-Земля" выполняется закон сохранения механической энергии. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии нижнюю точку цилиндра. Тогда:

Энергия в нижней точке: $E_0 = K_0 + P_0 = \frac{m v_0^2}{2} + 0$

Энергия в верхней точке (на высоте $h = 2r$): $E = K + P = \frac{m v^2}{2} + mg(2r)$

По закону сохранения энергии $E_0 = E$. Для нахождения минимальной начальной скорости $v_0$ используем минимальную скорость в верхней точке $v_{min}$:

$\frac{m v_0^2}{2} = \frac{m v_{min}^2}{2} + mg(2r)$

Подставим выражение для $v_{min}^2 = gr$:

$\frac{m v_0^2}{2} = \frac{m(gr)}{2} + 2mgr$

Сократим массу $\text{m}$:

$\frac{v_0^2}{2} = \frac{gr}{2} + 2gr$

$\frac{v_0^2}{2} = \frac{5gr}{2}$

$v_0^2 = 5gr$

Отсюда минимальная начальная скорость равна:

$v_0 = \sqrt{5gr}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$v_0 = \sqrt{5 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.5 \text{ м}} = \sqrt{25 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} = 5 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: Минимальная начальная горизонтальная скорость, которую надо сообщить шайбе, чтобы она совершила полный оборот по окружности, равна 5 м/с.