Номер 4, страница 164, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 20. Движение системы тел - номер 4, страница 164.

Условие.

4. Подвешенный на нити длиной 80 см деревянный брусок отклоняют в сторону так, чтобы натянутая нить стала горизонтальной, и отпускают без толчка. В момент, когда брусок находится в нижней точке траектории, в него попадает пуля массой 10 г, летящая с горизонтальной скоростью, направленной противоположно скорости бруска, и застревает в бруске. Скорость пули перед попаданием в брусок равна 500 м/с, а конечная скорость бруска с пулей равна нулю. Чему равна масса бруска? Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение.

Дано:

$L = 80 \text{ см} = 0.8 \text{ м}$
$m_п = 10 \text{ г} = 0.01 \text{ кг}$
$v_п = 500 \text{ м/с}$
$v_к = 0 \text{ м/с}$
$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

$M_б$ — ?

Решение:

Решение задачи можно разделить на два основных этапа. На первом этапе мы найдем скорость бруска в нижней точке траектории непосредственно перед столкновением с пулей, применив закон сохранения механической энергии. На втором этапе, используя закон сохранения импульса для абсолютно неупругого столкновения пули и бруска, мы определим искомую массу бруска.

1. Нахождение скорости бруска перед столкновением.

Когда брусок отклоняют до горизонтального положения нити, он поднимается на высоту $\text{h}$, равную длине нити $\text{L}$, относительно своего нижнего положения. В этой верхней точке брусок обладает максимальной потенциальной энергией $E_п = M_б g L$ и нулевой кинетической энергией, так как его отпускают из состояния покоя. В нижней точке траектории (которую мы принимаем за нулевой уровень потенциальной энергии) потенциальная энергия бруска равна нулю, а кинетическая энергия достигает своего максимума $E_к = \frac{1}{2} M_б v_б^2$, где $v_б$ — скорость бруска в этой точке.

Согласно закону сохранения механической энергии, полная механическая энергия системы сохраняется (сопротивлением воздуха пренебрегаем):

$M_б g L = \frac{1}{2} M_б v_б^2$

Массу бруска $M_б$ можно сократить, после чего мы можем выразить его скорость:

$g L = \frac{1}{2} v_б^2$

$v_б = \sqrt{2gL}$

Вычислим значение скорости бруска:

$v_б = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0.8 \text{ м}} = \sqrt{16 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 4 \text{ м/с}$

2. Нахождение массы бруска.

Столкновение пули с бруском является абсолютно неупругим, так как пуля застревает в бруске. Для системы тел "пуля + брусок" в момент столкновения выполняется закон сохранения импульса, так как внешние силы (сила тяжести и сила натяжения нити) скомпенсированы или перпендикулярны направлению движения.

Выберем направление движения бруска перед столкновением за положительное направление оси ОХ. Тогда импульс бруска до столкновения равен $p_б = M_б v_б$. Пуля летит навстречу бруску, поэтому ее скорость и импульс будут отрицательными: $p_п = -m_п v_п$.

Суммарный импульс системы до столкновения:

$P_{до} = M_б v_б - m_п v_п$

После столкновения брусок с пулей останавливаются, их конечная скорость $v_к = 0$. Следовательно, суммарный импульс системы после столкновения равен нулю:

$P_{после} = (M_б + m_п) v_к = (M_б + m_п) \cdot 0 = 0$

Приравнивая импульсы системы до и после столкновения ($P_{до} = P_{после}$):

$M_б v_б - m_п v_п = 0$

Отсюда следует, что:

$M_б v_б = m_п v_п$

Выразим массу бруска $M_б$:

$M_б = \frac{m_п v_п}{v_б}$

Подставим числовые значения, полученные ранее:

$M_б = \frac{0.01 \text{ кг} \cdot 500 \text{ м/с}}{4 \text{ м/с}} = \frac{5 \text{ кг}\cdot\text{м/с}}{4 \text{ м/с}} = 1.25 \text{ кг}$

Ответ: масса бруска равна 1.25 кг.