Номер 6, страница 164, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 20. Движение системы тел - номер 6, страница 164.

Условие.

6. В лежащий на столе брусок попадает горизонтально летящая пуля и застревает в нём. Брусок с пулей начинает скользить по столу и проходит до остановки путь $l = 2 \text{ м}$. Скорость пули перед попаданием в брусок $v_{\text{п}} = 500 \text{ м/с}$, коэффициент трения между бруском и столом $\mu = 0,5$. Во сколько раз масса бруска $\text{M}$ больше массы пули $\text{m}$?

Решение.

Дано:

Путь бруска с пулей: $l = 2$ м

Скорость пули до попадания: $v_п = 500$ м/с

Коэффициент трения: $\mu = 0,5$

Масса пули: $\text{m}$

Масса бруска: $\text{M}$

Ускорение свободного падения: $g \approx 9,8$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Отношение массы бруска к массе пули: $\frac{M}{m}$

Решение:

Процесс можно разделить на два последовательных этапа: абсолютно неупругое соударение пули и бруска, и последующее скольжение бруска с пулей до остановки под действием силы трения.

1. Абсолютно неупругое соударение.

В момент соударения для замкнутой системы «пуля + брусок» выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось. Внешние силы в этом направлении отсутствуют (силой трения за короткое время удара можно пренебречь).

Импульс системы до соударения равен импульсу летящей пули:

$p_{до} = m v_п$

После соударения пуля застревает в бруске, и они движутся как единое целое с некоторой начальной скоростью $\text{V}$. Импульс системы после соударения:

$p_{после} = (M+m)V$

Согласно закону сохранения импульса, $p_{до} = p_{после}$:

$m v_п = (M+m)V$ (1)

2. Движение бруска с пулей до остановки.

После соударения система «брусок + пуля» обладает кинетической энергией, которая полностью расходуется на работу против силы трения скольжения. Применим теорему об изменении кинетической энергии:

$\Delta E_k = A_{тр}$

Изменение кинетической энергии равно разности конечной (равной нулю) и начальной энергии:

$\Delta E_k = 0 - \frac{(M+m)V^2}{2}$

Работа силы трения отрицательна, так как сила трения направлена против движения:

$A_{тр} = -F_{тр} \cdot l$

Сила трения скольжения $F_{тр}$ равна произведению коэффициента трения $\mu$ на силу нормальной реакции опоры $\text{N}$. В данном случае $\text{N}$ равна суммарной силе тяжести бруска и пули: $N = (M+m)g$.

$F_{тр} = \mu (M+m)g$

Подставляя выражения в теорему об изменении кинетической энергии:

$-\frac{(M+m)V^2}{2} = -\mu (M+m)g l$

Сокращая общие множители, находим квадрат скорости системы сразу после столкновения:

$V^2 = 2\mu g l$ (2)

3. Нахождение отношения масс.

Из уравнения (1) выразим скорость $\text{V}$:

$V = \frac{m v_п}{M+m}$

Подставим это выражение для $\text{V}$ в уравнение (2):

$(\frac{m v_п}{M+m})^2 = 2\mu g l$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{m v_п}{M+m} = \sqrt{2\mu g l}$

Выразим из этого уравнения искомое отношение $\frac{M}{m}$. Для этого преобразуем левую часть, "перевернув" дробь:

$\frac{M+m}{m} = \frac{v_п}{\sqrt{2\mu g l}}$

Разделим почленно левую часть:

$\frac{M}{m} + \frac{m}{m} = \frac{v_п}{\sqrt{2\mu g l}}$

$1 + \frac{M}{m} = \frac{v_п}{\sqrt{2\mu g l}}$

Отсюда находим искомое отношение:

$\frac{M}{m} = \frac{v_п}{\sqrt{2\mu g l}} - 1$

Подставим числовые значения:

$\frac{M}{m} = \frac{500 \text{ м/с}}{\sqrt{2 \cdot 0,5 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 2 \text{ м}}} - 1 = \frac{500}{\sqrt{19,6}} - 1$

$\frac{M}{m} \approx \frac{500}{4,427} - 1 \approx 112,94 - 1 \approx 111,94$

Округляя результат, получаем, что масса бруска примерно в 112 раз больше массы пули.

Ответ: $\frac{M}{m} \approx 112$.