Номер 6, страница 161, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 19. Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости - номер 6, страница 161.

Условие.

6. В нижней точке горизонтально расположенного закреплённого цилиндра радиусом $\text{r}$ см лежит небольшая шайба массой $\text{m}$ (рис. 19.3). Шайбе сообщают минимально возможную горизонтальную скорость $v_0$, при которой она может совершить полный оборот по окружности. Чему равна в этом случае сила, с которой шайба давит на цилиндр в точке $\text{A}$? Трением можно пренебречь.

Рис. 19.3

Решение.

Дано:

$\text{m}$ – масса шайбы

$\text{r}$ – радиус цилиндра

$v_0$ – минимально возможная горизонтальная скорость для совершения полного оборота

Найти:

$P_A$ – сила, с которой шайба давит на цилиндр в точке A

Решение:

1. Для того чтобы шайба совершила полный оборот, она не должна отрываться от поверхности цилиндра в верхней точке траектории. В этой точке на шайбу действуют две силы, направленные вертикально вниз: сила тяжести $mg$ и сила нормальной реакции опоры $N_{верх}$. Согласно второму закону Ньютона, их сумма сообщает шайбе центростремительное ускорение:

$N_{верх} + mg = \frac{mv_{верх}^2}{r}$

где $v_{верх}$ – скорость шайбы в верхней точке. Минимальная начальная скорость $v_0$ соответствует условию, когда шайба едва проходит верхнюю точку, то есть сила реакции опоры в этой точке становится равной нулю ($N_{верх} = 0$). Тогда:

$mg = \frac{mv_{верх}^2}{r}$

Отсюда находим квадрат скорости в верхней точке:

$v_{верх}^2 = gr$

2. Теперь воспользуемся законом сохранения механической энергии, так как трение отсутствует. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии нижнюю точку цилиндра. Энергия в нижней точке равна энергии в верхней точке:

$E_{низ} = E_{верх}$

$\frac{mv_0^2}{2} + 0 = \frac{mv_{верх}^2}{2} + mg(2r)$

Подставим найденное выражение для $v_{верх}^2$:

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{m(gr)}{2} + 2mgr = \frac{5}{2}mgr$

Отсюда находим квадрат минимальной начальной скорости:

$v_0^2 = 5gr$

3. Найдем скорость шайбы $v_A$ в точке A, расположенной на высоте $h_A = r$ от нижней точки. Снова применим закон сохранения энергии для движения из нижней точки в точку A:

$E_{низ} = E_{A}$

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_A^2}{2} + mgr$

Подставим выражение для $v_0^2$:

$\frac{m(5gr)}{2} = \frac{mv_A^2}{2} + mgr$

$\frac{5}{2}mgr - mgr = \frac{mv_A^2}{2}$

$\frac{3}{2}mgr = \frac{mv_A^2}{2}$

Следовательно, квадрат скорости в точке A:

$v_A^2 = 3gr$

4. В точке A на шайбу действуют сила тяжести $mg$ (вертикально вниз) и сила нормальной реакции опоры $N_A$ (горизонтально, к центру окружности). Второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось, направленную к центру, имеет вид:

$N_A = ma_c = \frac{mv_A^2}{r}$

Подставим найденное значение $v_A^2$:

$N_A = \frac{m(3gr)}{r} = 3mg$

Согласно третьему закону Ньютона, сила $P_A$, с которой шайба давит на цилиндр, по модулю равна силе реакции опоры $N_A$.

$P_A = N_A = 3mg$

Ответ: сила, с которой шайба давит на цилиндр в точке А, равна $3mg$.