Номер 30, страница 158, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 18. Закон сохранения энергии в механике - номер 30, страница 158.

Условие.

30. Тело брошено под углом к горизонту со скоростью 40 м/с с высоты 20 м. На какой высоте над землёй кинетическая энергия тела равна его потенциальной энергии? Какова скорость тела в этот момент? Примите, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение.

Дано:

Начальная скорость тела, $v_0 = 40$ м/с

Начальная высота, $h_0 = 20$ м

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$\text{h}$ - высота, на которой кинетическая энергия тела равна его потенциальной энергии ($E_k = E_p$).

$\text{v}$ - скорость тела в этот момент.

Решение:

Поскольку по условию сопротивлением воздуха можно пренебречь, полная механическая энергия тела сохраняется. Это означает, что сумма кинетической и потенциальной энергии тела остается постоянной в любой точке его траектории.

Полная механическая энергия в начальный момент времени ($E_0$) на высоте $h_0$ при скорости $v_0$ определяется как:

$E_0 = E_{k0} + E_{p0} = \frac{m v_0^2}{2} + m g h_0$

где $\text{m}$ - масса тела.

В искомый момент времени, когда тело находится на высоте $\text{h}$ и движется со скоростью $\text{v}$, его полная механическая энергия ($\text{E}$) равна:

$E = E_k + E_p = \frac{m v^2}{2} + m g h$

По закону сохранения энергии $E_0 = E$.

$\frac{m v_0^2}{2} + m g h_0 = \frac{m v^2}{2} + m g h$

По условию задачи, в искомой точке кинетическая энергия равна потенциальной: $E_k = E_p$, то есть $\frac{m v^2}{2} = m g h$.

На какой высоте над землёй кинетическая энергия тела равна его потенциальной энергии?

В уравнении сохранения энергии заменим кинетическую энергию $\frac{m v^2}{2}$ на равную ей потенциальную $m g h$:

$\frac{m v_0^2}{2} + m g h_0 = m g h + m g h = 2 m g h$

Сократим массу $\text{m}$ в обеих частях уравнения:

$\frac{v_0^2}{2} + g h_0 = 2 g h$

Отсюда выразим искомую высоту $\text{h}$:

$h = \frac{\frac{v_0^2}{2} + g h_0}{2g} = \frac{v_0^2}{4g} + \frac{h_0}{2}$

Подставим числовые значения:

$h = \frac{(40 \text{ м/с})^2}{4 \cdot 10 \text{ м/с}^2} + \frac{20 \text{ м}}{2} = \frac{1600}{40} \text{ м} + 10 \text{ м} = 40 \text{ м} + 10 \text{ м} = 50 \text{ м}$

Ответ: Кинетическая энергия тела равна его потенциальной энергии на высоте 50 м над землёй.

Какова скорость тела в этот момент?

Снова используем закон сохранения энергии, но на этот раз заменим потенциальную энергию $m g h$ на равную ей кинетическую $\frac{m v^2}{2}$:

$\frac{m v_0^2}{2} + m g h_0 = \frac{m v^2}{2} + \frac{m v^2}{2} = m v^2$

Сократим массу $\text{m}$:

$\frac{v_0^2}{2} + g h_0 = v^2$

Выразим искомую скорость $\text{v}$:

$v = \sqrt{\frac{v_0^2}{2} + g h_0}$

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{\frac{(40 \text{ м/с})^2}{2} + 10 \text{ м/с}^2 \cdot 20 \text{ м}} = \sqrt{\frac{1600}{2} + 200} \text{ м/с} = \sqrt{800 + 200} \text{ м/с} = \sqrt{1000} \text{ м/с}$

Точное значение $v = 10\sqrt{10}$ м/с. Приближенное значение $v \approx 31,6$ м/с.

Ответ: Скорость тела в этот момент составляет $10\sqrt{10}$ м/с (приблизительно 31,6 м/с).