Номер 23, страница 157, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 18. Закон сохранения энергии в механике - номер 23, страница 157.

Условие.

23. Камень свободно падает без начальной скорости с высоты 5 м. На какой высоте кинетическая энергия камня равна его потенциальной энергии?

Решение.

Дано:

Начальная высота, $H = 5$ м

Начальная скорость, $v_0 = 0$ м/с

Условие: $E_к = E_п$

Найти:

Высоту $\text{h}$, на которой кинетическая энергия равна потенциальной.

Решение:

Согласно закону сохранения полной механической энергии, сумма кинетической и потенциальной энергий тела остается постоянной, если на тело действуют только консервативные силы (в данном случае сила тяжести, а сопротивлением воздуха пренебрегаем).

Полная механическая энергия $\text{E}$ в любой точке траектории определяется формулой:

$E = E_к + E_п$

В начальный момент времени, на высоте $\text{H}$, камень покоится, поэтому его начальная кинетическая энергия $E_{к0}$ равна нулю, а начальная потенциальная энергия $E_{п0}$ максимальна.

$E_{к0} = \frac{m v_0^2}{2} = 0$

$E_{п0} = m g H$

Полная энергия системы в начальный момент времени:

$E_{полная} = E_{к0} + E_{п0} = 0 + m g H = m g H$

На искомой высоте $\text{h}$ камень будет иметь некоторую скорость $\text{v}$, а его кинетическая и потенциальная энергии будут равны:

$E_к = \frac{m v^2}{2}$

$E_п = m g h$

По условию задачи, в этот момент $E_к = E_п$.

Полная механическая энергия на высоте $\text{h}$ равна:

$E_{полная} = E_к + E_п = E_п + E_п = 2 E_п = 2 m g h$

Так как полная механическая энергия сохраняется, мы можем приравнять ее значения в начальный и конечный моменты времени:

$m g H = 2 m g h$

Сократим обе части уравнения на $m g$ (масса и ускорение свободного падения не равны нулю):

$H = 2h$

Выразим искомую высоту $\text{h}$:

$h = \frac{H}{2}$

Подставим числовое значение $H = 5$ м:

$h = \frac{5 \text{ м}}{2} = 2.5 \text{ м}$

Ответ: $2.5$ м.