Номер 21, страница 157, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 18. Закон сохранения энергии в механике - номер 21, страница 157.

Условие.

21. Мячик бросили вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Через какой промежуток времени после броска кинетическая энергия мячика будет в 4 раза меньше начальной?

Решение.

Дано:

Начальная скорость: $v_0 = 20$ м/с

Соотношение энергий: $E_k = \frac{1}{4}E_{k0}$

Ускорение свободного падения: $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Промежуток времени $\text{t}$ - ?

Решение:

Кинетическая энергия тела вычисляется по формуле $E_k = \frac{mv^2}{2}$, где $\text{m}$ - масса тела, а $\text{v}$ - его скорость.

Начальная кинетическая энергия мячика в момент броска ($t=0$) равна:

$E_{k0} = \frac{mv_0^2}{2}$

Через промежуток времени $\text{t}$ скорость мячика станет $\text{v}$, а его кинетическая энергия будет равна:

$E_k = \frac{mv^2}{2}$

Согласно условию задачи, в этот момент времени кинетическая энергия в 4 раза меньше начальной:

$E_k = \frac{1}{4}E_{k0}$

Подставим выражения для энергий в это соотношение:

$\frac{mv^2}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{mv_0^2}{2}$

Сократив в обеих частях уравнения массу $\text{m}$ и множитель $\frac{1}{2}$, получим связь между скоростями:

$v^2 = \frac{1}{4}v_0^2$

Извлекая квадратный корень, находим модуль скорости $\text{v}$:

$|v| = \sqrt{\frac{1}{4}v_0^2} = \frac{1}{2}v_0$

Подставим числовое значение начальной скорости $v_0=20$ м/с:

$|v| = \frac{1}{2} \cdot 20 \text{ м/с} = 10$ м/с

Скорость мячика будет равна 10 м/с в двух случаях: когда он движется вверх и когда он падает вниз после достижения максимальной высоты.

Зависимость скорости от времени при движении тела, брошенного вертикально вверх (ось OY направлена вверх), описывается уравнением:

$v(t) = v_0 - gt$

Рассмотрим два случая:

1. Мячик движется вверх. Его скорость положительна: $v = +10$ м/с.

Найдем время $t_1$:

$10 = 20 - 10 \cdot t_1$

$10t_1 = 20 - 10$

$10t_1 = 10$

$t_1 = 1$ с

2. Мячик движется вниз. Его скорость отрицательна (направлена противоположно оси OY): $v = -10$ м/с.

Найдем время $t_2$:

$-10 = 20 - 10 \cdot t_2$

$10t_2 = 20 - (-10)$

$10t_2 = 30$

$t_2 = 3$ с

Таким образом, кинетическая энергия мячика будет в 4 раза меньше начальной через 1 секунду после броска (при движении вверх) и через 3 секунды после броска (при движении вниз).

Ответ: 1 с и 3 с.