Номер 28, страница 158, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 18. Закон сохранения энергии в механике - номер 28, страница 158.

Условие.

28. Брусок массой 50 г соединён пружиной жёсткостью 100 Н/м со стеной и лежит на гладком столе (рис. 18.8). Пружину растянули на 4 см и отпустили. Чему равна скорость бруска в момент, когда растяжение пружины равно 2 см?

Рис. 18.8

Решение.

Дано:

масса бруска $m = 50$ г
жёсткость пружины $k = 100$ Н/м
начальное растяжение пружины $x_1 = 4$ см
конечное растяжение пружины $x_2 = 2$ см
начальная скорость бруска $v_1 = 0$ м/с

Переведём данные в систему СИ:
$m = 50 \text{ г} = 0.05 \text{ кг}$
$x_1 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$x_2 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

скорость бруска $v_2$

Решение:

Поскольку брусок лежит на гладком столе, силой трения можно пренебречь. В системе «брусок-пружина» действует только консервативная сила упругости, следовательно, полная механическая энергия системы сохраняется.

Полная механическая энергия системы $\text{E}$ складывается из кинетической энергии бруска $E_k$ и потенциальной энергии упруго деформированной пружины $E_p$.

Запишем закон сохранения энергии для двух состояний системы:

1. Начальное состояние: пружина растянута на величину $x_1$, а брусок покоится ($v_1=0$).

Полная энергия в начальном состоянии: $E_1 = E_{k1} + E_{p1} = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{kx_1^2}{2}$

Так как $v_1 = 0$, то $E_{k1} = 0$, и полная энергия равна: $E_1 = \frac{kx_1^2}{2}$

2. Конечное состояние: растяжение пружины равно $x_2$, а брусок движется со скоростью $v_2$.

Полная энергия в конечном состоянии: $E_2 = E_{k2} + E_{p2} = \frac{mv_2^2}{2} + \frac{kx_2^2}{2}$

Согласно закону сохранения механической энергии, $E_1 = E_2$: $\frac{kx_1^2}{2} = \frac{mv_2^2}{2} + \frac{kx_2^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2: $kx_1^2 = mv_2^2 + kx_2^2$

Выразим отсюда скорость $v_2$: $mv_2^2 = kx_1^2 - kx_2^2$ $mv_2^2 = k(x_1^2 - x_2^2)$ $v_2^2 = \frac{k(x_1^2 - x_2^2)}{m}$ $v_2 = \sqrt{\frac{k(x_1^2 - x_2^2)}{m}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу: $v_2 = \sqrt{\frac{100 \cdot (0.04^2 - 0.02^2)}{0.05}}$ $v_2 = \sqrt{\frac{100 \cdot (0.0016 - 0.0004)}{0.05}}$ $v_2 = \sqrt{\frac{100 \cdot 0.0012}{0.05}}$ $v_2 = \sqrt{\frac{0.12}{0.05}}$ $v_2 = \sqrt{2.4} \approx 1.55$ (м/с)

Ответ: скорость бруска равна $\sqrt{2.4}$ м/с, что приблизительно составляет 1.55 м/с.