Номер 27, страница 158, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 18. Закон сохранения энергии в механике - номер 27, страница 158.

Условие.

27. Если шайбе сообщить начальную скорость 2 м/с, она проскользит по льду до остановки 5 м. Какое расстояние пройдёт до остановки шайба, если сообщить ей скорость 4 м/с?

Решение.

Дано:

$v_{01} = 2$ м/с (начальная скорость в первом случае)

$S_1 = 5$ м (тормозной путь в первом случае)

$v_{02} = 4$ м/с (начальная скорость во втором случае)

Найти:

$S_2$ — тормозной путь во втором случае.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Согласно этой теореме, работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии.

$A_{общ} = \Delta E_k = E_{k_{конечная}} - E_{k_{начальная}}$

На шайбу в горизонтальном направлении действует только сила трения скольжения $F_{тр}$. Работа этой силы отрицательна, так как она направлена против движения: $A_{тр} = -F_{тр} \cdot S$, где $\text{S}$ — пройденный путь.

Начальная кинетическая энергия шайбы равна $E_{k_{начальная}} = \frac{mv_0^2}{2}$, где $\text{m}$ — масса шайбы, а $v_0$ — её начальная скорость.

Конечная кинетическая энергия равна нулю, так как шайба останавливается: $E_{k_{конечная}} = 0$.

Подставив все выражения в теорему, получим:

$-F_{тр} \cdot S = 0 - \frac{mv_0^2}{2}$

Упрощая, получаем связь между силой трения, путём и начальной кинетической энергией:

$F_{тр} \cdot S = \frac{mv_0^2}{2}$

Отсюда можно выразить тормозной путь $\text{S}$:

$S = \frac{mv_0^2}{2F_{тр}}$

Сила трения скольжения $F_{тр}$ зависит от коэффициента трения $\mu$ и силы нормальной реакции $\text{N}$ ($F_{тр} = \mu N$). В данном случае $N=mg$, поэтому $F_{тр} = \mu mg$. Так как шайба и лед в обоих случаях одинаковы, сила трения $F_{тр}$ является постоянной величиной.

Из формулы для $\text{S}$ видно, что тормозной путь прямо пропорционален квадрату начальной скорости ($S \propto v_0^2$).

Составим пропорцию для двух описанных в задаче случаев:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{mv_{02}^2}{2F_{тр}}}{\frac{mv_{01}^2}{2F_{тр}}} = \frac{v_{02}^2}{v_{01}^2} = \left(\frac{v_{02}}{v_{01}}\right)^2$

Выразим искомое расстояние $S_2$:

$S_2 = S_1 \cdot \left(\frac{v_{02}}{v_{01}}\right)^2$

Подставим известные значения в формулу:

$S_2 = 5 \text{ м} \cdot \left(\frac{4 \text{ м/с}}{2 \text{ м/с}}\right)^2 = 5 \cdot (2)^2 = 5 \cdot 4 = 20$ м.

Ответ: 20 м.