Номер 25, страница 158, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 18. Закон сохранения энергии в механике - номер 25, страница 158.

Условие.

25. Если пружину игрушечного пистолета сжать на 1 см, то при выстреле вверх вылетевший из пистолета шарик поднимется на 30 см. На какую высоту поднимется шарик, если пружину сжать на 3 см? Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение.

Дано:

$x_1 = 1 \text{ см}$

$h_1 = 30 \text{ см}$

$x_2 = 3 \text{ см}$

$x_1 = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$h_1 = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$
$x_2 = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

$h_2$ - ?

Решение:

В данной задаче применим закон сохранения механической энергии. Так как сопротивлением воздуха можно пренебречь, вся потенциальная энергия упруго деформированной (сжатой) пружины переходит в потенциальную энергию шарика в поле тяжести на максимальной высоте его подъема.

Потенциальная энергия сжатой пружины вычисляется по формуле:

$E_{п.пр.} = \frac{kx^2}{2}$

где $\text{k}$ – жесткость пружины, а $\text{x}$ – величина ее сжатия.

Потенциальная энергия шарика на высоте $\text{h}$ вычисляется по формуле:

$E_п = mgh$

где $\text{m}$ – масса шарика, а $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Для первого случая (сжатие пружины на $x_1$ и подъем шарика на высоту $h_1$) закон сохранения энергии запишется так:

$\frac{kx_1^2}{2} = mgh_1$ (1)

Для второго случая (сжатие пружины на $x_2$ и подъем шарика на высоту $h_2$) закон сохранения энергии будет выглядеть так:

$\frac{kx_2^2}{2} = mgh_2$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с неизвестными $\text{k}$ и $\text{m}$. Чтобы найти $h_2$, разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{\frac{kx_2^2}{2}}{\frac{kx_1^2}{2}} = \frac{mgh_2}{mgh_1}$

Сократив общие множители ($k, 2, m, g$), получим пропорцию:

$\frac{x_2^2}{x_1^2} = \frac{h_2}{h_1}$

Из этого соотношения выразим искомую высоту $h_2$:

$h_2 = h_1 \cdot \frac{x_2^2}{x_1^2} = h_1 \cdot \left(\frac{x_2}{x_1}\right)^2$

Подставим числовые значения. Обратите внимание, что можно использовать величины в сантиметрах, так как их отношение будет безразмерным.

$h_2 = 30 \text{ см} \cdot \left(\frac{3 \text{ см}}{1 \text{ см}}\right)^2 = 30 \cdot 3^2 = 30 \cdot 9 = 270 \text{ см}$

Таким образом, при сжатии пружины на 3 см шарик поднимется на высоту 270 см, что составляет 2.7 м.

Ответ: шарик поднимется на высоту 270 см.