Номер 1, страница 159, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 19. Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости - номер 1, страница 159.

Условие.

1. Подвешенный на нити шарик отклонили в сторону так, что нить стала горизонтальной, и отпустили без толчка. Длина нити $\text{l}$, масса шарика $\text{m}$. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

а) Чему равна скорость $\text{v}$ шарика при прохождении положения равновесия?

б) Как направлено ускорение шарика при прохождении им положения равновесия?

в) Чему равен модуль $\text{a}$ ускорения шарика при прохождении им положения равновесия?

г) Изобразите на чертеже в тетради силы, действующие на шарик при прохождении им положения равновесия. Укажите на этом чертеже направление ускорения шарика.

д) Запишите второй закон Ньютона в проекции на направленную вверх ось $\text{x}$ в момент прохождения шариком положения равновесия.

е) Чему равен модуль $\text{T}$ силы натяжения нити при прохождении шариком положения равновесия?

Решение.

Дано:

Длина нити: $\text{l}$

Масса шарика: $\text{m}$

Начальная скорость: $v_0 = 0$

Начальное положение: нить горизонтальна, высота над положением равновесия $h_1 = l$

Найти:

а) $\text{v}$ — скорость в положении равновесия

б) направление $\vec{a}$ в положении равновесия

в) $\text{a}$ — модуль ускорения в положении равновесия

г) чертеж сил и ускорения

д) второй закон Ньютона в проекции на ось $\text{x}$

е) $\text{T}$ — сила натяжения нити в положении равновесия

Решение:

а) Чему равна скорость v шарика при прохождении положения равновесия?

Для нахождения скорости шарика в положении равновесия (нижняя точка траектории) воспользуемся законом сохранения механической энергии. Система является замкнутой, так как сопротивление воздуха пренебрежимо мало, а сила натяжения нити всегда перпендикулярна вектору скорости и, следовательно, работы не совершает. За нулевой уровень потенциальной энергии примем положение равновесия.

В начальном положении, когда нить горизонтальна, высота шарика над нулевым уровнем равна $h_1 = l$. Начальная скорость шарика $v_0 = 0$. Полная механическая энергия в этот момент:

$E_1 = E_{p1} + E_{k1} = mgh_1 + \frac{mv_0^2}{2} = mgl + 0 = mgl$

В положении равновесия высота шарика $h_2 = 0$, а его скорость равна $\text{v}$. Полная механическая энергия в этот момент:

$E_2 = E_{p2} + E_{k2} = mgh_2 + \frac{mv^2}{2} = 0 + \frac{mv^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$mgl = \frac{mv^2}{2}$

Отсюда находим квадрат скорости $v^2 = 2gl$, а сама скорость равна:

$v = \sqrt{2gl}$

Ответ: Скорость шарика при прохождении положения равновесия равна $v = \sqrt{2gl}$.

б) Как направлено ускорение шарика при прохождении им положения равновесия?

Полное ускорение тела при криволинейном движении $\vec{a}$ складывается из двух компонент: тангенциального (касательного) ускорения $\vec{a}_{\tau}$, отвечающего за изменение модуля скорости, и нормального (центростремительного) ускорения $\vec{a}_{n}$, отвечающего за изменение направления скорости. В положении равновесия скорость шарика достигает своего максимального значения. В точке максимума производная модуля скорости по времени равна нулю, следовательно, тангенциальное ускорение $a_{\tau} = 0$. Таким образом, полное ускорение шарика в этой точке равно его нормальному (центростремительному) ускорению, которое всегда направлено к центру кривизны траектории. В данном случае траектория — дуга окружности, центр которой находится в точке подвеса нити. Следовательно, ускорение направлено вертикально вверх.

Ответ: Ускорение шарика в положении равновесия направлено вертикально вверх, к точке подвеса.

в) Чему равен модуль a ускорения шарика при прохождении им положения равновесия?

Как показано в предыдущем пункте, в положении равновесия ускорение шарика является центростремительным, $a = a_n$. Модуль центростремительного ускорения определяется формулой $a_n = \frac{v^2}{R}$, где $\text{R}$ — радиус окружности. В нашем случае радиус равен длине нити $\text{l}$. Используя найденное в пункте а) значение квадрата скорости $v^2 = 2gl$, получаем:

$a = \frac{v^2}{l} = \frac{2gl}{l} = 2g$

Ответ: Модуль ускорения шарика равен $a = 2g$.

г) Изобразите на чертеже в тетради силы, действующие на шарик при прохождении им положения равновесия. Укажите на этом чертеже направление ускорения шарика.

В нижней точке траектории (положении равновесия) на шарик действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вертикально вверх. Ускорение $\vec{a}$, как мы выяснили, также направлено вертикально вверх. Поскольку результирующая сила $m\vec{a}$ направлена вверх, модуль силы натяжения $\vec{T}$ должен быть больше модуля силы тяжести $m\vec{g}$.

Ответ: Чертеж, иллюстрирующий силы и ускорение, представлен выше.

д) Запишите второй закон Ньютона в проекции на направленную вверх ось x в момент прохождения шариком положения равновесия.

Второй закон Ньютона в векторной форме гласит: $m\vec{a} = \sum \vec{F}$. Для шарика в положении равновесия сумма действующих сил равна $\sum \vec{F} = \vec{T} + m\vec{g}$. Таким образом, $m\vec{a} = \vec{T} + m\vec{g}$. Выберем ось $\text{x}$, направленную вертикально вверх. Спроецируем все векторы на эту ось: проекция ускорения $a_x = a$, так как вектор $\vec{a}$ сонаправлен с осью; проекция силы натяжения $T_x = T$, так как вектор $\vec{T}$ также сонаправлен с осью; проекция силы тяжести $(mg)_x = -mg$, так как вектор $m\vec{g}$ направлен в противоположную сторону. Подставив проекции в векторное уравнение, получим скалярное уравнение:

$ma = T - mg$

Ответ: Второй закон Ньютона в проекции на направленную вверх ось $\text{x}$ имеет вид $ma = T - mg$.

е) Чему равен модуль T силы натяжения нити при прохождении положения равновесия?

Для нахождения модуля силы натяжения нити $\text{T}$ воспользуемся уравнением, полученным в предыдущем пункте: $ma = T - mg$. Выразим из него $\text{T}$:

$T = mg + ma = m(g+a)$

Из пункта в) нам известно, что модуль ускорения в этой точке $a = 2g$. Подставим это значение в выражение для силы натяжения:

$T = m(g + 2g) = 3mg$

Ответ: Модуль силы натяжения нити при прохождении положения равновесия равен $T = 3mg$.