Номер 3, страница 159, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 19. Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости - номер 3, страница 159.

Условие.

3. Небольшая шайба массой $\text{m}$ скользит по желобу, переходящему в окружность радиусом $\text{r}$, и совершает полный оборот (рис. 19.1). Сопротивлением воздуха и трением можно пренебречь.

а) Изобразите на чертеже в тетради силы, действующие на шайбу в верхней точке кругового желоба. Как направлена равнодействующая этих сил? Как направлено ускорение шайбы?

б) Обозначьте $\text{v}$ модуль скорости шайбы в верхней точке кругового желоба, а $\text{N}$ — модуль силы нормальной реакции, действующей на неё в этой точке. Запишите в проекции на направленную вниз ось $\text{x}$ уравнение второго закона Ньютона для шайбы, находящейся в этой точке.

в) Чему равна по модулю минимально возможная сила нормальной реакции, действующая на шайбу в верхней точке кругового желоба?

г) Запишите выражение для минимально возможной скорости шайбы в верхней точке кругового желоба.

д) Запишите уравнение, выражающее закон сохранения энергии в механике при переходе шайбы из начального положения в верхнюю точку кругового желоба.

е) Запишите выражение для минимально возможной начальной высоты $\text{H}$, при которой шайба совершит полный оборот.

Решение.

Дано:

Масса шайбы: $\text{m}$

Радиус окружности: $\text{r}$

Начальная высота: $\text{H}$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

а) Силы, равнодействующую, ускорение в верхней точке.

б) Уравнение второго закона Ньютона в верхней точке.

в) $N_{min}$ - ?

г) $v_{min}$ в верхней точке - ?

д) Уравнение закона сохранения энергии.

е) $H_{min}$ - ?

Решение:

а) В верхней точке кругового жёлоба на шайбу действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции со стороны жёлоба $\vec{N}$, также направленная вертикально вниз (так как опора находится над шайбой). Равнодействующая этих сил $\vec{F}_{равн} = m\vec{g} + \vec{N}$ направлена вертикально вниз, к центру окружности. Согласно второму закону Ньютона, ускорение шайбы $\vec{a}$ сонаправлено с равнодействующей силой, то есть также направлено вертикально вниз. Это ускорение является центростремительным.

Ответ: На шайбу действуют сила тяжести и сила нормальной реакции, обе направлены вертикально вниз. Равнодействующая сила и ускорение также направлены вертикально вниз, к центру окружности.

б) Обозначим скорость шайбы в верхней точке как $\text{v}$. Направим ось координат $\text{x}$ вертикально вниз. В проекции на эту ось второй закон Ньютона ($\sum F_x = ma_x$) будет иметь вид: $N + mg = ma_ц$. Центростремительное ускорение равно $a_ц = \frac{v^2}{r}$. Таким образом, уравнение второго закона Ньютона для шайбы в верхней точке жёлоба: $N + mg = m\frac{v^2}{r}$.

Ответ: $N + mg = m\frac{v^2}{r}$.

в) Сила нормальной реакции $\text{N}$ не может быть отрицательной, так как жёлоб может только давить на шайбу, но не притягивать её. Минимально возможное значение силы нормальной реакции возникает в предельном случае, когда шайба почти теряет контакт с жёлобом. В этом случае сила реакции равна нулю.

Ответ: $N_{min} = 0$.

г) Минимально возможная скорость $v_{min}$ в верхней точке соответствует минимально возможной силе нормальной реакции $N_{min} = 0$. Подставим это значение в уравнение из пункта б): $0 + mg = m\frac{v_{min}^2}{r}$. Сократив массу $\text{m}$, получим: $g = \frac{v_{min}^2}{r}$. Отсюда выражаем минимальную скорость: $v_{min}^2 = gr$, следовательно, $v_{min} = \sqrt{gr}$.

Ответ: $v_{min} = \sqrt{gr}$.

д) Применим закон сохранения механической энергии, так как трением и сопротивлением воздуха можно пренебречь. Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии самое нижнее положение шайбы (нижнюю точку жёлоба).
Начальная энергия шайбы на высоте $\text{H}$ (относительно нижней точки жёлоба): $E_{нач} = E_{п} + E_{к} = mgH + 0 = mgH$.
Энергия шайбы в верхней точке жёлоба (на высоте $2r$ от нулевого уровня): $E_{кон} = E_{п} + E_{к} = mg(2r) + \frac{1}{2}mv^2$.
По закону сохранения энергии $E_{нач} = E_{кон}$, следовательно: $mgH = mg(2r) + \frac{1}{2}mv^2$.

Ответ: $mgH = mg(2r) + \frac{1}{2}mv^2$.

е) Чтобы шайба совершила полный оборот, её скорость в верхней точке должна быть не меньше минимальной, то есть $v \ge v_{min} = \sqrt{gr}$. Минимальная начальная высота $H_{min}$ соответствует движению с минимально возможной скоростью $v_{min}$ в верхней точке. Подставим $v = v_{min}$ в уравнение сохранения энергии из пункта д):
$mgH_{min} = mg(2r) + \frac{1}{2}m v_{min}^2$
$mgH_{min} = mg(2r) + \frac{1}{2}m (gr)$
Разделим обе части уравнения на $mg$:
$H_{min} = 2r + \frac{1}{2}r$
$H_{min} = \frac{5}{2}r = 2.5r$.

Ответ: $H_{min} = 2.5r$.