Номер 2, страница 162, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 20. Движение системы тел - номер 2, страница 162.

Условие.

2. На гладком столе покоится гладкий клин массой $M = 1$ кг и высотой $H = 40$ см (рис. 20.2). С вершины клина начинает соскальзывать небольшая шайба массой $m = 100$ г и плавно переходит на стол. Обозначим $\vec{v}$ и $\vec{V}$ конечные скорости шайбы и клина, когда они будут скользить по столу. Чему равны модули этих скоростей? Как направлены эти скорости?

Рис. 20.2

Решение.

Дано:

Масса клина, $M = 1$ кг

Масса шайбы, $m = 100$ г

Высота клина, $H = 40$ см

Начальные скорости тел равны нулю.

Перевод в систему СИ:

$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

$H = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}$

Найти:

Модуль конечной скорости шайбы, $\text{v}$

Модуль конечной скорости клина, $\text{V}$

Направления скоростей $\vec{v}$ и $\vec{V}$

Решение:

Рассмотрим систему тел "шайба-клин". Так как по условию стол и клин гладкие, то силы трения в системе отсутствуют. Это означает, что для системы выполняются два закона сохранения: закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось (внешние силы, действующие на систему в горизонтальном направлении, отсутствуют).

1. Закон сохранения импульса.

В начальный момент времени система покоилась, поэтому ее суммарный импульс был равен нулю. В конечный момент, когда шайба и клин движутся по столу, их скорости $\vec{v}$ и $\vec{V}$ направлены горизонтально. Согласно закону сохранения импульса:

$0 = m\vec{v} + M\vec{V}$

В проекции на горизонтальную ось, направленную в сторону движения шайбы, это уравнение для модулей скоростей примет вид:

$0 = mv - MV \implies mv = MV \quad (1)$

Из этого соотношения следует, что векторы скоростей шайбы и клина направлены в противоположные стороны.

2. Закон сохранения механической энергии.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии поверхность стола. В начальный момент полная механическая энергия системы равна потенциальной энергии шайбы, так как кинетическая энергия равна нулю:

$E_{\text{нач}} = mgH$

В конечный момент, когда шайба находится на столе, ее потенциальная энергия равна нулю, и полная энергия системы равна сумме кинетических энергий шайбы и клина:

$E_{\text{кон}} = \frac{mv^2}{2} + \frac{MV^2}{2}$

Приравнивая начальную и конечную энергии, получаем:

$mgH = \frac{mv^2}{2} + \frac{MV^2}{2} \quad (2)$

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $\text{v}$ и $\text{V}$. Из уравнения (1) выразим скорость клина $\text{V}$:

$V = \frac{m}{M}v$

Подставим это выражение в уравнение (2):

$mgH = \frac{mv^2}{2} + \frac{M}{2} \left(\frac{m}{M}v\right)^2 = \frac{mv^2}{2} + \frac{M m^2 v^2}{2 M^2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{m^2 v^2}{2M}$

Вынесем $\frac{v^2}{2}$ за скобки:

$mgH = \frac{v^2}{2} \left(m + \frac{m^2}{M}\right) = \frac{v^2}{2} \frac{m(M+m)}{M}$

Выразим $v^2$ (сократив обе части на $\text{m}$):

$gH = \frac{v^2(M+m)}{2M} \implies v^2 = \frac{2gHM}{M+m}$

Отсюда находим модуль скорости шайбы $\text{v}$:

$v = \sqrt{\frac{2gHM}{M+m}}$

Подставим числовые значения, принимая $g \approx 9.8 \text{ м/с²}$:

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 9.8 \text{ м/с²} \cdot 0.4 \text{ м} \cdot 1 \text{ кг}}{1 \text{ кг} + 0.1 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{7.84}{1.1}} \approx \sqrt{7.127} \approx 2.67 \text{ м/с}$

Теперь найдем модуль скорости клина $\text{V}$ из уравнения (1):

$V = \frac{m}{M}v = \frac{0.1 \text{ кг}}{1 \text{ кг}} \cdot 2.67 \text{ м/с} = 0.267 \text{ м/с} \approx 0.27 \text{ м/с}$

Ответ:

Чему равны модули этих скоростей?

Модуль конечной скорости шайбы $v \approx 2.67 \text{ м/с}$, модуль конечной скорости клина $V \approx 0.27 \text{ м/с}$.

Как направлены эти скорости?

Скорости шайбы и клина направлены горизонтально в противоположные стороны.