Номер 5, страница 161, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 19. Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости - номер 5, страница 161.

Условие.

5. Подвешенный на нити шарик массой $\text{m}$ отклонили в сторону так, что натянутая нить составляет угол $\alpha$ с вертикалью. Шарик отпускают без толчка. Сопротивлением воздуха можно пренебречь. Чему равна по модулю сила натяжения нити в момент, когда шарик проходит положение равновесия?

Решение.

Дано:

Масса шарика: $\text{m}$
Угол отклонения нити от вертикали: $\alpha$
Начальная скорость: $v_0 = 0$
Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Силу натяжения нити в положении равновесия: $\text{T}$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии и вторым законом Ньютона.

1. Применим закон сохранения энергии для двух положений шарика: начального (когда нить отклонена на угол $\alpha$) и конечного (когда шарик проходит положение равновесия). За нулевой уровень потенциальной энергии примем положение равновесия (нижнюю точку траектории).

В начальном положении шарик покоится, поэтому его кинетическая энергия $E_{к1} = 0$. Высота шарика над положением равновесия равна $h = l - l \cos(\alpha) = l(1 - \cos(\alpha))$, где $\text{l}$ — длина нити. Тогда потенциальная энергия в начальном положении $E_{п1} = mgh = mgl(1 - \cos(\alpha))$.

Полная механическая энергия в начальном положении:$E_1 = E_{к1} + E_{п1} = mgl(1 - \cos(\alpha))$.

В положении равновесия высота $h = 0$, поэтому потенциальная энергия $E_{п2} = 0$. Кинетическая энергия равна $E_{к2} = \frac{mv^2}{2}$, где $\text{v}$ — скорость шарика в этой точке.

Полная механическая энергия в положении равновесия:$E_2 = E_{к2} + E_{п2} = \frac{mv^2}{2}$.

Так как сопротивлением воздуха можно пренебречь, полная механическая энергия системы сохраняется: $E_1 = E_2$.$mgl(1 - \cos(\alpha)) = \frac{mv^2}{2}$.

Отсюда выразим квадрат скорости шарика в положении равновесия:$v^2 = 2gl(1 - \cos(\alpha))$.

2. Теперь рассмотрим силы, действующие на шарик в момент прохождения положения равновесия. На него действуют сила тяжести $mg$, направленная вниз, и сила натяжения нити $\text{T}$, направленная вверх. В этой точке шарик движется по дуге окружности, поэтому его ускорение является центростремительным и направлено к центру окружности (вверх). Величина этого ускорения $a_c = \frac{v^2}{l}$.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:$T - mg = ma_c$.

Подставим выражение для центростремительного ускорения:$T - mg = \frac{mv^2}{l}$.

3. Подставим в полученное уравнение выражение для $v^2$, найденное из закона сохранения энергии:$T - mg = \frac{m}{l} (2gl(1 - \cos(\alpha)))$.

Сократив $\text{l}$, получим:$T - mg = 2mg(1 - \cos(\alpha))$.

Выразим искомую силу натяжения $\text{T}$:$T = mg + 2mg(1 - \cos(\alpha)) = mg + 2mg - 2mg \cos(\alpha) = 3mg - 2mg \cos(\alpha)$.

$T = mg(3 - 2 \cos(\alpha))$.

Ответ: $T = mg(3 - 2 \cos(\alpha))$.