Номер 24, страница 157, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 18. Закон сохранения энергии в механике - номер 24, страница 157.

Условие.

24. На рисунке 18.7 изображён график зависимости потенциальной энергии свободно падающего без начальной скорости тела массой 200 г.

Рис. 18.7

а) С какой высоты падало тело?

б) Чему равна полная механическая энергия тела через 1,5 с после начала падения?

в) Чему равны кинетическая и потенциальная энергия тела через 1,5 с после начала падения?

г) На какой высоте находилось тело через 1,5 с после начала падения?

д) Чему равна скорость тела через 1,5 с после начала падения?

Решение.

Дано:

$m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

$v_0 = 0 \text{ м/с}$ (свободное падение без начальной скорости)

Из графика: начальная потенциальная энергия $E_{p0} = 90 \text{ Дж}$ при $t_0 = 0 \text{ с}$

Ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

а) $\text{H}$ - ?

б) $\text{E}$ через 1,5 с - ?

в) $E_k$ и $E_p$ через 1,5 с - ?

г) $\text{h}$ через 1,5 с - ?

д) $\text{v}$ через 1,5 с - ?

Решение:

а) С какой высоты падало тело?
В начальный момент времени ($t=0$) тело покоилось на максимальной высоте $\text{H}$. Вся его механическая энергия была представлена потенциальной энергией. Формула потенциальной энергии: $E_p = mgh$. В начальный момент времени: $E_{p0} = mgH$. Отсюда можем выразить начальную высоту $\text{H}$:
$H = \frac{E_{p0}}{mg} = \frac{90 \text{ Дж}}{0.2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{90}{2} = 45 \text{ м}$.

Ответ: тело падало с высоты 45 м.

б) Чему равна полная механическая энергия тела через 1,5 с после начала падения?
Так как тело падает свободно и сопротивление воздуха не учитывается, действует закон сохранения полной механической энергии. Это означает, что полная механическая энергия тела в любой момент времени остается постоянной и равной ее значению в начальный момент. В начальный момент времени кинетическая энергия $E_{k0} = 0$ (тело покоилось), а потенциальная энергия $E_{p0} = 90 \text{ Дж}$. Полная механическая энергия $E = E_{k0} + E_{p0} = 0 + 90 \text{ Дж} = 90 \text{ Дж}$. Эта величина не изменяется со временем.

Ответ: полная механическая энергия через 1,5 с равна 90 Дж.

в) Чему равны кинетическая и потенциальная энергия тела через 1,5 с после начала падения?
Найдем высоту тела $\text{h}$ через 1,5 с после начала падения. При свободном падении без начальной скорости высота изменяется по закону: $h(t) = H - \frac{gt^2}{2}$.
$h(1.5) = 45 \text{ м} - \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot (1.5 \text{ с})^2}{2} = 45 - \frac{10 \cdot 2.25}{2} = 45 - 11.25 = 33.75 \text{ м}$.
Теперь можем найти потенциальную энергию в этот момент времени:
$E_p(1.5) = mgh(1.5) = 0.2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 33.75 \text{ м} = 2 \cdot 33.75 = 67.5 \text{ Дж}$.
Кинетическую энергию найдем из закона сохранения энергии: $E = E_k + E_p$.
$E_k(1.5) = E - E_p(1.5) = 90 \text{ Дж} - 67.5 \text{ Дж} = 22.5 \text{ Дж}$.

Ответ: потенциальная энергия равна 67,5 Дж, кинетическая энергия равна 22,5 Дж.

г) На какой высоте находилось тело через 1,5 с после начала падения?
Высоту тела в этот момент времени мы уже рассчитали в предыдущем пункте. $h(t) = H - \frac{gt^2}{2}$
$h(1.5) = 45 \text{ м} - \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot (1.5 \text{ с})^2}{2} = 33.75 \text{ м}$.
Также можно найти высоту, зная потенциальную энергию $E_p(1.5) = 67.5 \text{ Дж}$:
$h(1.5) = \frac{E_p(1.5)}{mg} = \frac{67.5 \text{ Дж}}{0.2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{67.5}{2} = 33.75 \text{ м}$.

Ответ: тело находилось на высоте 33,75 м.

д) Чему равна скорость тела через 1,5 с после начала падения?
Скорость тела можно найти, зная его кинетическую энергию $E_k(1.5) = 22.5 \text{ Дж}$.
Формула кинетической энергии: $E_k = \frac{mv^2}{2}$.
Выразим скорость $\text{v}$: $v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}$.
$v(1.5) = \sqrt{\frac{2 \cdot 22.5 \text{ Дж}}{0.2 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{45}{0.2}} = \sqrt{225} = 15 \text{ м/с}$.
Проверим результат по формуле скорости для свободного падения: $v(t) = gt$.
$v(1.5) = 10 \text{ м/с}^2 \cdot 1.5 \text{ с} = 15 \text{ м/с}$. Результаты совпадают.

Ответ: скорость тела равна 15 м/с.