Номер 14, страница 155, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 18. Закон сохранения энергии в механике - номер 14, страница 155.

Условие.

14. Горизонтальная пружина жёсткостью $\text{k}$ прикреплена к стене и сжата бруском массой $\text{m}$, который удерживают в покое (рис. 18.6). В начальный момент модуль деформации пружины равен $\text{x}$. Брусок отпускают без толчка, после чего пружина возвращается в недеформированное состояние, а брусок некоторое время скользит по столу. Коэффициент трения между бруском и столом $\mu$. Модуль перемещения бруска до остановки равен $\text{s}$.

Рис. 18.6

а) Запишите выражения для конечной и начальной механической энергии системы «брусок + пружина», а также для её изменения.

б) Запишите выражение для работы силы трения скольжения.

в) Запишите уравнение, связывающее изменение механической энергии и работу силы трения скольжения.

г) Выразите $\text{s}$ через $k, x, \mu, m$.

д) Выразите $\text{x}$ через $k, s, \mu, m$.

Решение.

Дано:

Жесткость пружины: $\text{k}$
Масса бруска: $\text{m}$
Начальное сжатие пружины: $\text{x}$
Коэффициент трения скольжения: $\mu$
Полное перемещение бруска до остановки: $\text{s}$
Начальная скорость: $v_0 = 0$
Конечная скорость: $v_{кон} = 0$

Будем считать, что все величины даны в системе СИ.

Найти:

а) $E_{нач}$, $E_{кон}$, $\Delta E$ - ?
б) $A_{тр}$ - ?
в) Уравнение, связывающее $\Delta E$ и $A_{тр}$ - ?
г) $\text{s}$ через $k, x, \mu, m$ - ?
д) $\text{x}$ через $k, s, \mu, m$ - ?

Решение:

а) Запишите выражения для конечной и начальной механической энергии системы «брусок + пружина», а также для её изменения.

Начальная механическая энергия системы $E_{нач}$ состоит из кинетической энергии бруска и потенциальной энергии пружины. В начальный момент брусок покоится ($v_0 = 0$), поэтому его кинетическая энергия равна нулю. Потенциальная энергия сжатой на величину $\text{x}$ пружины равна $\frac{kx^2}{2}$.

$E_{нач} = \frac{mv_0^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = 0 + \frac{kx^2}{2} = \frac{kx^2}{2}$

В конечном состоянии брусок останавливается ($v_{кон} = 0$), а пружина находится в недеформированном состоянии. Следовательно, и кинетическая энергия бруска, и потенциальная энергия пружины равны нулю.

$E_{кон} = \frac{mv_{кон}^2}{2} + \frac{k \cdot 0^2}{2} = 0 + 0 = 0$

Изменение механической энергии $\Delta E$ равно разности между конечной и начальной энергией.

$\Delta E = E_{кон} - E_{нач} = 0 - \frac{kx^2}{2} = -\frac{kx^2}{2}$

Ответ: $E_{нач} = \frac{kx^2}{2}$, $E_{кон} = 0$, $\Delta E = -\frac{kx^2}{2}$.

б) Запишите выражение для работы силы трения скольжения.

Работа силы трения $A_{тр}$ вычисляется по формуле $A_{тр} = F_{тр} s \cos\alpha$. Сила трения $F_{тр}$ направлена противоположно вектору перемещения $\text{s}$, поэтому угол $\alpha = 180^\circ$, и $\cos 180^\circ = -1$. Модуль силы трения скольжения на горизонтальной поверхности равен $F_{тр} = \mu N = \mu mg$, где $\text{N}$ - сила нормальной реакции, равная силе тяжести $mg$.

Таким образом, работа силы трения:

$A_{тр} = -F_{тр} \cdot s = -\mu mg s$

Ответ: $A_{тр} = -\mu mg s$.

в) Запишите уравнение, связывающее изменение механической энергии и работу силы трения скольжения.

Согласно закону изменения полной механической энергии, изменение энергии системы равно работе внешних и непотенциальных (диссипативных) сил. В данном случае такой силой является сила трения.

$\Delta E = A_{тр}$

Подставив выражения из пунктов (а) и (б), получаем:

$-\frac{kx^2}{2} = -\mu mg s$

Это уравнение можно также записать в виде $\frac{kx^2}{2} = \mu mg s$.

Ответ: $-\frac{kx^2}{2} = -\mu mg s$.

г) Выразите s через k, x, μ, m.

Используем уравнение, полученное в пункте (в):

$\frac{kx^2}{2} = \mu mg s$

Из этого уравнения выражаем перемещение $\text{s}$:

$s = \frac{kx^2}{2\mu mg}$

Ответ: $s = \frac{kx^2}{2\mu mg}$.

д) Выразите x через k, s, μ, m.

Снова используем уравнение из пункта (в):

$\frac{kx^2}{2} = \mu mg s$

Выражаем квадрат начальной деформации $x^2$:

$x^2 = \frac{2\mu mg s}{k}$

Извлекаем квадратный корень, учитывая, что $\text{x}$ - это модуль деформации и является положительной величиной:

$x = \sqrt{\frac{2\mu mg s}{k}}$

Ответ: $x = \sqrt{\frac{2\mu mg s}{k}}$.