Номер 12, страница 154, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 18. Закон сохранения энергии в механике - номер 12, страница 154.

Условие.

12. Небольшой шар массой $\text{m}$ висит на лёгком стержне длиной $\text{l}$ (рис. 18.4, а). Стержень может вращаться без трения вокруг точки подвеса $\text{O}$. Шару сообщают начальную горизонтальную скорость $\vec{v}_0$, в результате чего стержень с шаром начинает вращаться вокруг точки $\text{O}$ (рис. 18.4, б).

а) Можно ли считать, что полная механическая энергия шара сохраняется?

б) Обозначим скорость шара в верхней точке $v_1$. Запишите уравнение, которое выражает сохранение механической энергии шара при движении от нижней точки до верхней.

в) Выразите скорость шара в верхней точке через $v_0$ и $\text{l}$.

г) Какую скорость надо сообщить шару в нижней точке, чтобы он совершил полный оборот вокруг точки $\text{O}$?

Решение.

Дано:

Масса шара: $\text{m}$

Длина стержня: $\text{l}$

Начальная скорость шара в нижней точке: $v_0$

Скорость шара в верхней точке: $v_1$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

а) Сохраняется ли полная механическая энергия шара?

б) Уравнение сохранения механической энергии.

в) Выразить $v_1$ через $v_0$ и $\text{l}$.

г) Минимальную скорость $v_0$, необходимую для совершения полного оборота.

Решение:

а) Да, можно считать, что полная механическая энергия шара сохраняется. На шар действуют две силы: сила тяжести и сила реакции стержня. Сила тяжести является консервативной силой, ее работа учитывается через изменение потенциальной энергии. Сила реакции стержня в любой момент времени направлена вдоль стержня, то есть перпендикулярно вектору скорости шара, который направлен по касательной к окружности. Работа силы, перпендикулярной перемещению, равна нулю. В условии также сказано, что вращение происходит без трения. Так как работа неконсервативных сил (трения) равна нулю, полная механическая энергия системы сохраняется.

Ответ: Да, полная механическая энергия сохраняется, так как единственная сила, совершающая работу, — это консервативная сила тяжести, а трение отсутствует.

б) Запишем закон сохранения механической энергии для нижней и верхней точек траектории. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии положение шара в нижней точке.
Полная механическая энергия в нижней точке ($E_0$) складывается из кинетической энергии и нулевой потенциальной энергии:
$E_0 = \frac{m v_0^2}{2} + 0 = \frac{m v_0^2}{2}$
В верхней точке шар поднят на высоту $h = 2l$ относительно начального положения. Его полная механическая энергия ($E_1$) складывается из кинетической и потенциальной энергий:
$E_1 = \frac{m v_1^2}{2} + mgh = \frac{m v_1^2}{2} + mg(2l)$
Согласно закону сохранения энергии, $E_0 = E_1$.

Ответ: Уравнение сохранения энергии: $\frac{m v_0^2}{2} = \frac{m v_1^2}{2} + 2mgl$.

в) Выразим скорость $v_1$ из уравнения, полученного в пункте б).
$\frac{m v_0^2}{2} = \frac{m v_1^2}{2} + 2mgl$
Сократим массу $\text{m}$ и умножим обе части уравнения на 2:
$v_0^2 = v_1^2 + 4gl$
Выразим $v_1^2$:
$v_1^2 = v_0^2 - 4gl$
Отсюда находим $v_1$:
$v_1 = \sqrt{v_0^2 - 4gl}$

Ответ: $v_1 = \sqrt{v_0^2 - 4gl}$.

г) Для того чтобы шар совершил полный оборот, он должен достичь верхней точки. В отличие от случая с нитью, стержень может работать на сжатие, поэтому скорость в верхней точке может быть сколь угодно малой, вплоть до нуля. Минимальное условие для совершения полного оборота — это достижение верхней точки, то есть скорость $v_1$ должна быть действительным числом, что означает $v_1 \ge 0$.
Используя выражение из пункта в), запишем это условие:
$\sqrt{v_0^2 - 4gl} \ge 0$
Это эквивалентно тому, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$v_0^2 - 4gl \ge 0$
$v_0^2 \ge 4gl$
$v_0 \ge \sqrt{4gl} = 2\sqrt{gl}$
Следовательно, минимальная скорость в нижней точке, необходимая для совершения полного оборота, равна $2\sqrt{gl}$.

Ответ: $v_0 = 2\sqrt{gl}$.