Номер 5, страница 151, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 18. Закон сохранения энергии в механике - номер 5, страница 151.

Условие.

5. В рассмотренном выше опыте угол отклонения нити длиной $l = 40$ см от вертикали в начальном положении $\alpha = 60^{\circ}$.

a) Выразите начальную высоту шара (над нижней точкой траектории) через длину нити $\text{l}$ и начальный угол отклонения нити от вертикали $\alpha$.

б) Чему равна скорость шара при прохождении положения равновесия?

Решение.

Дано:

$l = 40 \text{ см}$

$\alpha = 60^\circ$

$l = 0.4 \text{ м}$

Найти:

a) $h(l, \alpha)$

б) $\text{v}$

Решение:

а) Выразите начальную высоту шара (над нижней точкой траектории) через длину нити l и начальный угол отклонения нити от вертикали α.

Для определения начальной высоты шара $\text{h}$ рассмотрим его положение относительно точки подвеса. Пусть нулевой уровень потенциальной энергии соответствует нижней точке траектории (положению равновесия). Длина нити $\text{l}$ — это расстояние от точки подвеса до шара.

Когда нить отклонена на угол $\alpha$ от вертикали, вертикальное расстояние от точки подвеса до шара можно найти с помощью тригонометрии. В прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — это нить длиной $\text{l}$, а один из катетов — искомое вертикальное расстояние, этот катет равен $l \cdot \cos\alpha$.

Расстояние от точки подвеса до нижней точки траектории равно длине нити $\text{l}$.

Таким образом, начальная высота шара $\text{h}$ над нижней точкой траектории равна разности этих двух расстояний:

$h = l - l \cdot \cos\alpha$

Вынесем $\text{l}$ за скобки:

$h = l(1 - \cos\alpha)$

Ответ: Начальная высота шара выражается формулой $h = l(1 - \cos\alpha)$.

б) Чему равна скорость шара при прохождении положения равновесия?

Для нахождения скорости шара в положении равновесия воспользуемся законом сохранения механической энергии. В начальном положении (при отклонении на угол $\alpha$) шар обладает потенциальной энергией $E_p$ и нулевой кинетической энергией (так как его начальная скорость равна нулю). В положении равновесия (нижняя точка траектории) высота шара равна нулю, следовательно, его потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая энергия $E_k$ максимальна.

Запишем закон сохранения энергии:

$E_{p1} + E_{k1} = E_{p2} + E_{k2}$

Где:

• $E_{p1} = mgh$ — начальная потенциальная энергия.
• $E_{k1} = 0$ — начальная кинетическая энергия.
• $E_{p2} = 0$ — конечная потенциальная энергия (в положении равновесия).
• $E_{k2} = \frac{mv^2}{2}$ — конечная кинетическая энергия.

Подставляем значения в уравнение:

$mgh + 0 = 0 + \frac{mv^2}{2}$

$mgh = \frac{mv^2}{2}$

Масса $\text{m}$ сокращается:

$gh = \frac{v^2}{2}$

Отсюда выражаем скорость $\text{v}$:

$v = \sqrt{2gh}$

Подставим в эту формулу выражение для высоты $\text{h}$ из пункта а):

$v = \sqrt{2gl(1 - \cos\alpha)}$

Теперь подставим числовые значения. Будем считать, что ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

$l = 0.4 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ$

$\cos(60^\circ) = 0.5$

$v = \sqrt{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 0.4 \text{ м} \cdot (1 - 0.5)} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 0.4 \cdot 0.5} = \sqrt{9.8 \cdot 0.4} = \sqrt{3.92} \approx 1.98 \text{ м/с}$

Если принять $g \approx 10 \text{ м/с}^2$, то:

$v = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0.4 \text{ м} \cdot (1 - 0.5)} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0.4 \cdot 0.5} = \sqrt{10 \cdot 0.4} = \sqrt{4} = 2 \text{ м/с}$

Будем использовать более точное значение $\text{g}$.

Ответ: Скорость шара при прохождении положения равновесия равна приблизительно $1.98 \text{ м/с}$.