Номер 7, страница 151, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 18. Закон сохранения энергии в механике - номер 7, страница 151.

Условие.

7. Растянутая пружина жёсткостью 100 Н/м с укреплённым на ней шаром (см. рис. 18.2) возвращается из начального положения 1 в недеформированное состояние 2. В начальном положении удлинение пружины равно 4 см, а скорость шара равна нулю. Положение равновесия шар проходит со скоростью 2 м/с. Чему равна масса шара?

Решение.

Дано:

Жёсткость пружины, $k = 100$ Н/м
Начальное удлинение пружины, $x_1 = 4$ см = $0.04$ м
Начальная скорость шара, $v_1 = 0$ м/с
Скорость шара в положении равновесия, $v_2 = 2$ м/с
Удлинение пружины в положении равновесия, $x_2 = 0$ м

Найти:

Массу шара, $\text{m}$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. Полная механическая энергия системы, состоящей из пружины и шара, сохраняется, так как силами трения и сопротивления воздуха можно пренебречь.

Полная механическая энергия системы $\text{E}$ складывается из кинетической энергии шара $E_k$ и потенциальной энергии упруго деформированной пружины $E_p$:
$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2}$

В начальном положении (состояние 1) пружина растянута на $x_1$, а шар неподвижен ($v_1 = 0$). Полная энергия системы в этом состоянии равна:
$E_1 = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{kx_1^2}{2} = 0 + \frac{kx_1^2}{2} = \frac{kx_1^2}{2}$

Когда шар проходит положение равновесия (состояние 2), пружина не деформирована ($x_2 = 0$), а скорость шара максимальна и равна $v_2$. Полная энергия системы в этом состоянии равна:
$E_2 = \frac{mv_2^2}{2} + \frac{kx_2^2}{2} = \frac{mv_2^2}{2} + 0 = \frac{mv_2^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия системы в начальном состоянии равна полной энергии в конечном состоянии: $E_1 = E_2$.
$\frac{kx_1^2}{2} = \frac{mv_2^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:
$kx_1^2 = mv_2^2$

Выразим из этого уравнения массу шара $\text{m}$:
$m = \frac{kx_1^2}{v_2^2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:
$m = \frac{100 \cdot (0.04)^2}{2^2} = \frac{100 \cdot 0.0016}{4} = \frac{0.16}{4} = 0.04$ кг.

Ответ: масса шара равна $0.04$ кг.