Номер 13, страница 154, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 18. Закон сохранения энергии в механике - номер 13, страница 154.

Условие.

13. На концах лёгкого стержня длиной $\text{2l}$ укреплены небольшие шары массой $\text{m}$ и $\text{M}$, причём $M > m$ (рис. 18.5, а). Стержень может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси, проходящей через его середину. Стержень с шарами удерживают в покое в горизонтальном положении. В некоторый момент стержень отпускают без толчка.

a) Запишите уравнение, которое выражает сохранение механической энергии шаров при переходе от начального положения в положение, показанное на рисунке 18.5, б.

б) Чему равны скорости шаров в момент, когда стержень с шарами проходит положение, показанное на рисунке 18.5, б?

Рис. 18.5

Решение.

Дано

Длина стержня: $L = 2l$
Массы шаров: $\text{m}$ и $\text{M}$ ($M > m$)
Начальная скорость: $v_0 = 0$
Система единиц: Все величины заданы в общем виде, перевод в СИ не требуется.

Найти

а) Уравнение сохранения механической энергии.
б) Скорости шаров $\text{v}$ в конечном положении.

Решение

Поскольку стержень лёгкий и вращается без трения, для системы из двух шаров выполняется закон сохранения механической энергии. Механическая энергия системы равна сумме её кинетической и потенциальной энергий.

$E = K + U$

$E_{начальная} = E_{конечная}$

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии горизонтальное положение стержня (положение, проходящее через ось вращения O).

В начальном положении (рис. 18.5, а) стержень горизонтален и покоится.

Начальная кинетическая энергия системы равна нулю, так как шары неподвижны: $K_{нач} = 0$.

Начальная потенциальная энергия системы также равна нулю, так как оба шара находятся на нулевом уровне: $U_{нач} = mgh_1 + Mgh_2 = m \cdot g \cdot 0 + M \cdot g \cdot 0 = 0$.

Полная начальная механическая энергия системы: $E_{начальная} = K_{нач} + U_{нач} = 0$.

В конечном положении (рис. 18.5, б) стержень расположен вертикально. Шар массой $\text{M}$ опустился на расстояние $\text{l}$, а шар массой $\text{m}$ поднялся на расстояние $\text{l}$.

Конечная потенциальная энергия системы: $U_{кон} = mgl + Mg(-l) = (m-M)gl$.

Так как стержень является твёрдым телом, вращающимся вокруг центра O, линейные скорости шаров в любой момент времени равны по величине. Обозначим их скорость в конечном положении как $\text{v}$.

Конечная кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий шаров:

$K_{кон} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}Mv^2 = \frac{1}{2}(m+M)v^2$.

Полная конечная механическая энергия системы: $E_{конечная} = K_{кон} + U_{кон} = \frac{1}{2}(m+M)v^2 + (m-M)gl$.

а) Запишите уравнение, которое выражает сохранение механической энергии шаров при переходе от начального положения в положение, показанное на рисунке 18.5, б.

Приравнивая начальную и конечную механическую энергию, получаем уравнение сохранения энергии:

$0 = \frac{1}{2}(m+M)v^2 + (m-M)gl$

Это уравнение можно также записать в виде, где изменение кинетической энергии равно работе силы тяжести (взятой с обратным знаком изменению потенциальной энергии):

$\Delta K = -\Delta U$

$K_{кон} - K_{нач} = -(U_{кон} - U_{нач})$

$\frac{1}{2}(m+M)v^2 - 0 = -((m-M)gl - 0)$

$\frac{1}{2}(m+M)v^2 = (M-m)gl$

Ответ: Уравнение сохранения механической энергии: $\frac{1}{2}(m+M)v^2 = (M-m)gl$.

б) Чему равны скорости шаров в момент, когда стержень с шарами проходит положение, показанное на рисунке 18.5, б?

Для нахождения скорости $\text{v}$ воспользуемся уравнением, полученным в пункте а).

$\frac{1}{2}(m+M)v^2 = (M-m)gl$

Выразим из этого уравнения $v^2$:

$v^2 = \frac{2(M-m)gl}{m+M}$

Теперь найдём величину скорости $\text{v}$:

$v = \sqrt{\frac{2(M-m)gl}{m+M}}$

Скорости обоих шаров равны по величине, но противоположны по направлению.

Ответ: $v = \sqrt{\frac{2(M-m)gl}{m+M}}$.