Номер 6, страница 151, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 18. Закон сохранения энергии в механике - номер 6, страница 151.

Условие.

6. Растянутая пружина жёсткостью $\text{k}$ с укреплённым на ней шаром массой $\text{m}$ возвращается из начального положения 1 в недеформированное состояние 2 (рис. 18.2). В начальном положении деформация пружины равна $\text{x}$, скорость шара равна нулю. Трением можно пренебречь.

Рис. 18.2

а) Как изменяются (увеличиваются или уменьшаются) потенциальная энергия пружины и кинетическая энергия шара при его переходе из состояния 1 в состояние 2?

б) Чему равны кинетическая энергия шара и потенциальная энергия пружины, когда шар находится в положении 1?

в) Чему равны кинетическая энергия шара и потенциальная энергия пружины, когда шар находится в положении 2?

г) Выразите скорость шара $\text{v}$ в положении 2 через начальную деформацию пружины, жёсткость пружины и массу шара.

Решение.

а) При переходе шара из состояния 1 в состояние 2 пружина возвращается в недеформированное состояние, поэтому её деформация уменьшается от значения $\text{x}$ до нуля. Потенциальная энергия упруго деформированной пружины, которая рассчитывается по формуле $E_п = \frac{kx^2}{2}$, при этом уменьшается. Поскольку трением можно пренебречь, полная механическая энергия системы "шар-пружина" сохраняется. Уменьшение потенциальной энергии пружины приводит к увеличению кинетической энергии шара. Шар, изначально покоившийся, начинает двигаться и разгоняться под действием силы упругости. Следовательно, его кинетическая энергия, вычисляемая по формуле $E_к = \frac{mv^2}{2}$, увеличивается.

Ответ: Потенциальная энергия пружины уменьшается, кинетическая энергия шара увеличивается.

б) В положении 1, согласно условию, скорость шара равна нулю ($v_1=0$). Кинетическая энергия шара в этом положении равна $E_{к1} = \frac{mv_1^2}{2} = 0$. Деформация пружины в положении 1 равна $\text{x}$. Потенциальная энергия пружины в этом положении составляет $E_{п1} = \frac{kx^2}{2}$.

Ответ: Кинетическая энергия шара равна 0, потенциальная энергия пружины равна $\frac{kx^2}{2}$.

в) В положении 2 пружина не деформирована, поэтому её деформация равна нулю. Потенциальная энергия пружины в этом положении равна $E_{п2} = 0$. Так как система замкнутая (трение отсутствует), полная механическая энергия сохраняется. Это означает, что вся потенциальная энергия, которой обладала пружина в положении 1, перешла в кинетическую энергию шара в положении 2. Таким образом, кинетическая энергия шара в положении 2 равна начальной потенциальной энергии пружины: $E_{к2} = E_{п1} = \frac{kx^2}{2}$.

Ответ: Кинетическая энергия шара равна $\frac{kx^2}{2}$, потенциальная энергия пружины равна 0.

г)

Дано:

жёсткость пружины: $\text{k}$
масса шара: $\text{m}$
начальная деформация пружины: $\text{x}$
начальная скорость шара: $v_1=0$

Найти:

скорость шара в положении 2: $\text{v}$

Решение:

Поскольку трением можно пренебречь, для системы "шар-пружина" выполняется закон сохранения полной механической энергии. Полная механическая энергия системы в начальном состоянии 1 ($E_1$) равна полной механической энергии в конечном состоянии 2 ($E_2$).
$E_1 = E_2$
Полная механическая энергия в любом состоянии является суммой кинетической ($E_к$) и потенциальной ($E_п$) энергий: $E = E_к + E_п$.
Для состояния 1:
$E_{к1} = \frac{mv_1^2}{2} = 0$
$E_{п1} = \frac{kx^2}{2}$
$E_1 = E_{к1} + E_{п1} = 0 + \frac{kx^2}{2} = \frac{kx^2}{2}$
Для состояния 2 (обозначим скорость шара как $\text{v}$):
$E_{к2} = \frac{mv^2}{2}$
$E_{п2} = 0$ (пружина не деформирована)
$E_2 = E_{к2} + E_{п2} = \frac{mv^2}{2} + 0 = \frac{mv^2}{2}$
Приравниваем энергии $E_1$ и $E_2$:
$\frac{kx^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$
Умножаем обе части на 2:
$kx^2 = mv^2$
Выражаем $v^2$:
$v^2 = \frac{kx^2}{m}$
Находим скорость $\text{v}$, извлекая квадратный корень:
$v = \sqrt{\frac{kx^2}{m}} = x\sqrt{\frac{k}{m}}$

Ответ: $v = x\sqrt{\frac{k}{m}}$