Номер 4, страница 34, часть 1 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 1. Глава 1. Кинематика. Параграф 7. Примеры решения задач на сложение движений - номер 4, страница 34.

Условие.

4. Определите угол $ \alpha $ из задачи 3, при котором пловец переплывёт реку за минимальное время. Для этого случая определите путь пловца за время переправы в системе отсчёта, связанной с берегом.

Решение.

Ответ: ___________.

Решение.

Поскольку данная задача является продолжением задачи 3, для численного решения воспользуемся типичными данными из подобных задач:

Дано:

Ширина реки: $L = 180$ м
Скорость пловца относительно воды: $v_п = 1.5$ м/с
Скорость течения реки: $v_т = 0.9$ м/с

Найти:

$\alpha_{min\_t}$ — угол для минимального времени переправы
$S$ — путь пловца за это время

Решение:

Для решения задачи введем систему координат. Пусть ось OY направлена перпендикулярно течению реки (от одного берега к другому), а ось OX — вдоль течения. Начало координат — в точке старта пловца.

Определение угла α, при котором пловец переплывёт реку за минимальное время
Скорость пловца относительно берега $\vec{v}$ является векторной суммой его скорости относительно воды $\vec{v_п}$ и скорости течения $\vec{v_т}$.
$\vec{v} = \vec{v_п} + \vec{v_т}$
Пусть угол $\alpha$ — это угол между вектором скорости пловца относительно воды $\vec{v_п}$ и направлением, перпендикулярным берегу (осью OY). Тогда компоненты скоростей будут:
$\vec{v_т} = \{v_т; 0\}$
$\vec{v_п} = \{v_п \sin\alpha; v_п \cos\alpha\}$
Результирующая скорость пловца относительно берега: $\vec{v} = \{v_т + v_п \sin\alpha; v_п \cos\alpha\}$.
Время $t$, необходимое для пересечения реки шириной $L$, зависит от составляющей скорости, перпендикулярной берегу, то есть $v_y$:
$t = \frac{L}{v_y} = \frac{L}{v_п \cos\alpha}$
Для того чтобы время переправы $t$ было минимальным, знаменатель дроби должен быть максимальным. Поскольку скорость пловца $v_п$ — величина постоянная, необходимо максимизировать $\cos\alpha$.
Максимальное значение $\cos\alpha$ равно 1, что достигается при угле $\alpha = 0^\circ$. Это означает, что пловец должен плыть строго перпендикулярно берегу.
Ответ: Угол, при котором пловец переплывёт реку за минимальное время, равен $0^\circ$ по отношению к перпендикуляру к берегу.

Определение пути пловца за время переправы в системе отсчёта, связанной с берегом
Сначала найдём минимальное время переправы, подставив $\alpha = 0^\circ$ в формулу для времени:
$t_{min} = \frac{L}{v_п \cos(0^\circ)} = \frac{L}{v_п} = \frac{180 \text{ м}}{1.5 \text{ м/с}} = 120 \text{ с}$
За это время пловец будет смещён течением вдоль берега (вдоль оси OX). Это смещение $S_x$ равно:
$S_x = v_x \cdot t_{min} = (v_т + v_п \sin(0^\circ)) \cdot t_{min} = v_т \cdot t_{min}$
$S_x = 0.9 \text{ м/с} \cdot 120 \text{ с} = 108 \text{ м}$
Перемещение пловца поперёк реки (вдоль оси OY) равно её ширине:
$S_y = L = 180 \text{ м}$
Полный путь $S$, пройденный пловцом относительно берега, является длиной вектора полного перемещения. Его можно найти по теореме Пифагора, так как смещения $S_x$ и $S_y$ взаимно перпендикулярны:
$S = \sqrt{S_x^2 + S_y^2} = \sqrt{(108 \text{ м})^2 + (180 \text{ м})^2} = \sqrt{11664 + 32400} = \sqrt{44064} \approx 210 \text{ м}$
Ответ: Путь пловца за время переправы в системе отсчёта, связанной с берегом, составляет примерно 210 м.