Номер 1, страница 30, часть 1 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 1. Глава 1. Кинематика. Параграф 7. Примеры решения задач на сложение движений - номер 1, страница 30.

Условие.

1. Мышь бежит по ленте транспортёра со скоростью $\vec{v}'$ относительно ленты под углом $\alpha = 45^\circ$ к её краям так, как показано на рис. 27. Проекция скорости $\vec{v}'$ мыши на координатную ось $X'$ равна $v_x' = 0,5$ м/с. Ось $X'$ системы отсчёта $X'Y'$, связанной с лентой транспортёра, направлена неподвижной относительно пола оси $\text{X}$ системы отсчёта $\text{XY}$. Скорость $\vec{u}$ движения ленты относительно пола направлена параллельно оси $\text{X}$, а её модуль равен $0,1$ м/с. Ширина ленты $L = 2$ м. Определите: а) время, за которое мышь достигнет противоположного края ленты; б) путь, который пробежит при этом мышь в системе отсчёта $\text{XY}$.

Рис. 27

Решение.

Шаг 1. Система отсчёта XY связана с _____.

В качестве тела отсчёта выбрана _____.

За начало отсчёта принята _____.

Часы включены в момент _____.

Шаг 2. Начальные координаты мыши: $x_0 = \__ ;$ $y_0 = \_$.

Шаг 3. Определим проекции скорости движения мыши в системе отсчёта XY на оси этой системы.

Мышь движется со скоростью $\vec{v}'$ относительно _____.

Проекция $\vec{v}'$ на ось $X'$ равна $v_x' = \_$ м/с.

Так как угол $\alpha = 45^\circ$, проекция $\vec{v}'$ на ось $Y'$ равна $v_y' = \_$ м/с.

Лента движется со скоростью $\vec{u}$ относительно _____

Проекция $\vec{u}$ на ось $\text{X}$ равна $u_x = \_$ м/с. Проекция $\vec{u}$ на ось $\text{Y}$ равна $u_y = \_$ м/с.

В системе отсчёта $\text{XY}$ в любой момент времени выполняется соотношение:

$\vec{v} = \_$

Поэтому проекция $\vec{v}$ на ось $\text{X}$ равна

$v_x = \_$ м/с; проекция $\vec{v}$ на ось $\text{Y}$ равна

$v_y = \_$ м/с.

Шаг 4. Запишем законы движения проекций мыши на оси $\text{X}$ и $\text{Y}$ с учётом результатов шагов 2 и 3:

$x(t) = x_0 + v_x t = \_$

$y(t) = y_0 + v_y t = \_$

Шаг 5. Представим в виде уравнения условие задачи.

В конечный момент времени $t_k$ координата $y(t_k)$ мыши по оси $\text{Y}$ станет равна _____. Обозначим координату окончания пробега через $x(t_k)$.

Пройденный мышью путь $s = \_$

Шаг 6. Сведём полученные уравнения в систему, присвоив каждому из них название и номер:

$x(t) = \_$ (1) (закон движения по оси $\text{X}$)

$y(t) = \_$ (2) (закон движения по оси $\text{Y}$)

$y(t_k) = \_$ (3) (условие окончания пробега)

$s = \_$ (4) (выражение для пути)

Шаг 7. Решение системы уравнений.

Ответ: время пробега мыши равно $\_$ с, путь мыши в системе отсчёта $\text{XY}$ равен $\_$ м.

Решение.

Дано:

Угол движения мыши относительно ленты, $\alpha = 45°$

Проекция скорости мыши относительно ленты на ось X', $v'_x = 0,5 \text{ м/с}$

Скорость движения ленты относительно пола, $u = 0,1 \text{ м/с}$

Ширина ленты, $L = 2 \text{ м}$

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

а) время, за которое мышь достигнет противоположного края ленты, $t_k$

б) путь, который пробежит при этом мышь в системе отсчета XY, $s$

Решение:

Введём две системы отсчета: неподвижную систему $XY$, связанную с полом, и подвижную систему $X'Y'$, связанную с лентой транспортёра. Скорость мыши относительно пола ($\vec{v}$) является векторной суммой её скорости относительно ленты ($\vec{v'}$) и скорости самой ленты относительно пола ($\vec{u}$):

$\vec{v} = \vec{v'} + \vec{u}$

Это равенство справедливо и для проекций скоростей на оси координат:

$v_x = v'_x + u_x$

$v_y = v'_y + u_y$

а) время, за которое мышь достигнет противоположного края ленты

Время, за которое мышь пересечёт ленту, зависит только от её скорости в направлении, перпендикулярном движению ленты (вдоль оси Y), и ширины ленты $L$.

$t_k = \frac{L}{v_y}$

Найдём проекцию скорости мыши на ось Y в неподвижной системе отсчёта ($v_y$).

Лента транспортёра движется только вдоль оси X, поэтому её скорость не имеет проекции на ось Y: $u_y = 0$.

Следовательно, $v_y = v'_y + u_y = v'_y + 0 = v'_y$.

Теперь найдём проекцию скорости мыши относительно ленты на ось Y' ($v'_y$). В подвижной системе отсчёта $X'Y'$ вектор скорости мыши $\vec{v'}$ направлен под углом $\alpha = 45°$ к оси $X'$. Проекции скорости связаны через тангенс угла:

$\tan \alpha = \frac{v'_y}{v'_x}$

Отсюда $v'_y = v'_x \cdot \tan \alpha$. Подставим известные значения:

$v'_y = 0,5 \text{ м/с} \cdot \tan 45° = 0,5 \text{ м/с} \cdot 1 = 0,5 \text{ м/с}$

Таким образом, $v_y = v'_y = 0,5 \text{ м/с}$.

Теперь мы можем рассчитать время, за которое мышь пересечёт ленту:

$t_k = \frac{L}{v_y} = \frac{2 \text{ м}}{0,5 \text{ м/с}} = 4 \text{ с}$

Ответ: время, за которое мышь достигнет противоположного края ленты, равно 4 с.

б) путь, который пробежит при этом мышь в системе отсчета XY

Путь, пройденный мышью в неподвижной системе отсчёта $XY$, равен произведению модуля её полной скорости в этой системе ($v$) на время движения ($t_k$):

$s = v \cdot t_k$

Модуль полной скорости $v$ найдём по теореме Пифагора из её проекций $v_x$ и $v_y$:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

Проекцию $v_y$ мы уже нашли в пункте а): $v_y = 0,5 \text{ м/с}$.

Найдём проекцию скорости на ось X в неподвижной системе отсчёта ($v_x$):

$v_x = v'_x + u_x$

По условию, $v'_x = 0,5 \text{ м/с}$. Скорость ленты $\vec{u}$ направлена вдоль оси X, поэтому $u_x = u = 0,1 \text{ м/с}$.

$v_x = 0,5 \text{ м/с} + 0,1 \text{ м/с} = 0,6 \text{ м/с}$

Теперь найдём модуль полной скорости мыши в системе $XY$:

$v = \sqrt{(0,6 \text{ м/с})^2 + (0,5 \text{ м/с})^2} = \sqrt{0,36 + 0,25} \text{ м/с} = \sqrt{0,61} \text{ м/с}$

Рассчитаем путь, пройденный мышью:

$s = v \cdot t_k = \sqrt{0,61} \text{ м/с} \cdot 4 \text{ с} = 4\sqrt{0,61} \text{ м} \approx 3,124 \text{ м}$

Округлим результат до сотых.

Ответ: путь, который пробежит мышь в системе отсчета XY, равен примерно 3,12 м.