Номер 3, страница 33, часть 1 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 1. Глава 1. Кинематика. Параграф 7. Примеры решения задач на сложение движений - номер 3, страница 33.

Условие.

3. Пловец переплывает реку, направляясь относительно воды со скоростью $v'$ под углом $\alpha$ к направлению течения. Ширина реки равна $\text{L}$. Модуль скорости течения реки равен $\text{u}$. Определите путь пловца в системе отсчёта, связанной с берегом, за время переправы.

Решение.

Шаг 1. _______________.

Шаг 2. _______________.

Шаг 3. _______________.

Шаг 4. _______________.

Шаг 5. _______________.

Шаг 6. _______________.

Шаг 7. _______________.

Ответ: ___________.

Решение.

Дано:

$v'$ - скорость пловца относительно воды

$\alpha$ - угол между вектором скорости пловца относительно воды и направлением течения

$L$ - ширина реки

$u$ - скорость течения реки

Найти:

$S$ - путь пловца в системе отсчёта, связанной с берегом

Решение:

Шаг 1. Введём систему координат, связанную с берегом. Ось $Ox$ направим вдоль течения реки, а ось $Oy$ - перпендикулярно течению, от одного берега к другому. Начало координат поместим в точку старта пловца на берегу.

Шаг 2. Скорость пловца относительно берега $\vec{v}$ складывается из его скорости относительно воды $\vec{v'}$ и скорости воды (течения) относительно берега $\vec{u}$ по закону сложения скоростей: $\vec{v} = \vec{v'} + \vec{u}$.

Шаг 3. Найдём проекции скорости пловца относительно берега на оси координат. Вектор скорости течения $\vec{u}$ направлен вдоль оси $Ox$, его проекции: $u_x = u$, $u_y = 0$. Вектор скорости пловца относительно воды $\vec{v'}$ направлен под углом $\alpha$ к оси $Ox$, его проекции: $v'_x = v' \cos \alpha$, $v'_y = v' \sin \alpha$. Тогда проекции результирующей скорости $\vec{v}$ равны:

$v_x = v'_x + u_x = v' \cos \alpha + u$

$v_y = v'_y + u_y = v' \sin \alpha + 0 = v' \sin \alpha$

Шаг 4. Определим время $t$, необходимое пловцу для пересечения реки. Это время зависит от ширины реки $L$ и составляющей скорости, перпендикулярной берегу, то есть $v_y$.

$t = \frac{L}{v_y} = \frac{L}{v' \sin \alpha}$

Шаг 5. Найдём модуль скорости пловца относительно берега $|\vec{v}|$ по теореме Пифагора, используя его компоненты $v_x$ и $v_y$.

$|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(v' \cos \alpha + u)^2 + (v' \sin \alpha)^2}$

Раскроем скобки: $|\vec{v}| = \sqrt{(v')^2 \cos^2 \alpha + 2uv' \cos \alpha + u^2 + (v')^2 \sin^2 \alpha}$

Сгруппируем слагаемые: $|\vec{v}| = \sqrt{(v')^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + u^2 + 2uv' \cos \alpha}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, получаем:

$|\vec{v}| = \sqrt{(v')^2 + u^2 + 2uv' \cos \alpha}$

Шаг 6. Путь $S$, пройденный пловцом относительно берега, — это расстояние, которое он преодолел за время переправы $t$, двигаясь с постоянной скоростью $|\vec{v}|$.

$S = |\vec{v}| \cdot t$

Шаг 7. Подставим выражения для $|\vec{v}|$ и $t$, найденные в шагах 4 и 5, в формулу для пути $S$.

$S = \left(\sqrt{(v')^2 + u^2 + 2uv' \cos \alpha}\right) \cdot \left(\frac{L}{v' \sin \alpha}\right)$

Таким образом, искомый путь равен:

$S = \frac{L}{v' \sin \alpha} \sqrt{(v')^2 + u^2 + 2uv' \cos \alpha}$

Ответ: $S = \frac{L}{v' \sin \alpha} \sqrt{(v')^2 + u^2 + 2uv' \cos \alpha}$.