Номер 2, страница 31, часть 1 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 1. Глава 1. Кинематика. Параграф 7. Примеры решения задач на сложение движений - номер 2, страница 31.

Условие.

2. Двое друзей запускают радиоуправляемый катер через речку с параллельными берегами (рис. 28). Ширина реки $L = 5$ м. Модуль скорости течения реки равен $u = 30$ см/с. Модуль скорости катера относительно воды $v' = 50$ см/с. Проекция скорости $\vec{v}'$ на ось $\text{Y}$ неподвижной относительно берега системы координат $XY$ равна $30$ см/с. Определите, на какое расстояние $l$ вдоль берега переместится катер к моменту достижения им противоположного берега.

Рис. 28

Решение.

Шаг 1. Выбор системы отсчёта.

В качестве тела отсчёта выберем _____________.

За начало отсчёта примем _____________.

Оси $\text{X}$ и $\text{Y}$ неподвижны относительно берега, ось $X$ направим вдоль берега.

Часы включим _____________.

Шаг 2. Начальные координаты катера: $x_0 = \_\_\_\_\_\_\_\_$; $y_0 = \_\_\_\_\_\_\_\_.$

Шаг 3. Определим проекции $v_x$ и $v_y$ скорости движения катера на координатные оси $X$ и $Y$.

Катер движется со скоростью $\vec{v}'$ относительно ___________.

Проекция $\vec{v}'$ на ось $Y'$ равна $v'_y = \_\_\_\_\_\_\_\_$ см/с.

Так как известен модуль $v'$, то проекция $\vec{v}'$ на ось $X'$ равна: $v'_x = \_\_\_\_\_\_\_\_$ см/с.

Вода движется со скоростью $\vec{u}$ относительно _____________.

Проекция $\vec{u}$ на ось $X$ равна $u_x = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$ см/с.

Проекция $\vec{u}$ на ось $Y$ равна $u_y = \_\_\_\_\_\_\_\_$ см/с.

В системе отсчёта $XY$ в любой момент времени выполняется соотношение: $\vec{v} = \_\_\_\_\_\_\_\_$. Поэтому проекция $\vec{v}$ на ось $X$ равна $v_x = \_\_\_\_\_\_\_\_$ см/с, проекция $\vec{v}$ на ось $\text{Y}$ равна $v_y = \_\_\_\_\_\_\_\_$ см/с.

Шаг 4. Запишем законы движения проекций катера на координатные оси с учётом результатов шагов 2 и 3:

$x(t) = x_0 + v_x t = \_\_\_\_\_\_\_\_;$

$y(t) = y_0 + v_y t = \_\_\_\_\_\_\_\_.$

Шаг 5. Представим в виде уравнения условие задачи.

В конечный момент времени $t_{\text{к}}$ координата $y(t_{\text{к}})$ катера по оси $Y$ станет равна: $y(t_{\text{к}}) = \_\_\_\_\_\_\_\_.$

Искомая величина сноса $\text{l}$ катера равна его координате ________ в момент времени ________: $x(t_{\text{к}}) = \_\_\_\_\_\_\_\_.$

Шаг 6. Сведём полученные уравнения в систему, присвоив каждому из них название и номер:

$x(t) = \_\_\_\_\_\_\_\_$ (1) (________);

$y(t) = \_\_\_\_\_\_\_\_$ (2) (________);

$y(t_{\text{к}}) = \_\_\_\_\_\_\_\_$ (3) (________);

$x(t_{\text{к}}) = \_\_\_\_\_\_\_\_$ (4) (________).

Шаг 7. Решение системы уравнений.

Ответ: ___________.

Решение.

Дано:

$L = 5$ м

$u = 30$ см/с

$v' = 50$ см/с

$v'_y = 30$ см/с (проекция скорости катера относительно воды на ось Y)

$L = 5$ м

$u = 0.3$ м/с

$v' = 0.5$ м/с

$v'_y = 0.3$ м/с

Для удобства расчетов будем использовать L = 500 см.

Найти:

$l$ - ?

Решение

Шаг 1. Выбор системы отсчёта.

В качестве тела отсчёта выберем берег.

За начало отсчёта примем точку старта катера (начало координат).

Оси X и Y неподвижны относительно берега, ось X направим вдоль берега.

Часы включим в момент старта катера.

Шаг 2. Начальные координаты катера: $x_0 = \underline{0}$; $y_0 = \underline{0}$.

Шаг 3. Определим проекции $v_x$ и $v_y$ скорости движения катера на координатные оси X и Y.

Катер движется со скоростью $\vec{v'}$ относительно воды.

Проекция $\vec{v'}$ на ось Y' равна $v'_y = \underline{30}$ см/с.

Так как известен модуль $v'$, то проекция $\vec{v'}$ на ось X' равна:

$v'_x = \underline{-40}$ см/с. (Это следует из теоремы Пифагора: $v'^2 = (v'_x)^2 + (v'_y)^2$. Тогда $(v'_x)^2 = v'^2 - (v'_y)^2 = 50^2 - 30^2 = 2500 - 900 = 1600$. Следовательно, $|v'_x| = 40$ см/с. Знак "минус" выбирается потому, что, судя по рисунку, катер направлен против течения).

Вода движется со скоростью $\vec{u}$ относительно берега.

Проекция $\vec{u}$ на ось X равна $u_x = \underline{30}$ см/с.

Проекция $\vec{u}$ на ось Y равна $u_y = \underline{0}$ см/с.

В системе отсчёта XY в любой момент времени выполняется соотношение: $\underline{\vec{v} = \vec{v'} + \vec{u}}$ (закон сложения скоростей). Поэтому проекция $\vec{v}$ на ось X равна $v_x = v'_x + u_x = -40 + 30 = \underline{-10}$ см/с, проекция $\vec{v}$ на ось Y равна $v_y = v'_y + u_y = 30 + 0 = \underline{30}$ см/с.

Шаг 4. Запишем законы движения проекций катера на координатные оси с учётом результатов шагов 2 и 3:

$x(t) = x_0 + v_x t = \underline{-10t}$

$y(t) = y_0 + v_y t = \underline{30t}$

Шаг 5. Представим в виде уравнения условие задачи.

В конечный момент времени $t_к$ координата $y(t_к)$ катера по оси Y станет равна: $y(t_к) = \underline{L = 500 \text{ см}}$

Искомая величина сноса $l$ катера равна его координате $\underline{x}$ в момент времени $\underline{t_к}$: $x(t_к) = \underline{l}$.

Шаг 6. Сведём полученные уравнения в систему, присвоив каждому из них название и номер:

$x(t) = -10t$ (1) (Закон движения по оси X)

$y(t) = 30t$ (2) (Закон движения по оси Y)

$y(t_к) = 500$ (3) (Условие достижения противоположного берега)

$x(t_к) = l$ (4) (Определение искомого сноса)

Шаг 7. Решение системы уравнений.

Из уравнений (2) и (3) найдем время, за которое катер пересечет реку:

$y(t_к) = 30t_к = 500$

$t_к = \frac{500}{30} = \frac{50}{3}$ c.

Теперь, зная время движения, из уравнений (1) и (4) найдем величину сноса $l$:

$l = x(t_к) = -10 \cdot t_к = -10 \cdot \frac{50}{3} = -\frac{500}{3}$ см.

Величина сноса составляет примерно $-166.7$ см, или $-1.67$ м. Знак "минус" означает, что снос произошел против течения реки (в направлении, противоположном оси X).

Ответ: Катер переместится на расстояние $\frac{500}{3}$ см (приблизительно 167 см) против течения. В выбранной системе координат $l = -\frac{500}{3}$ см.