Номер 6, страница 40, часть 1 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 1. Глава 1. Кинематика. Параграф 9. Движение тела, брошенного под углом к горизонту - номер 6, страница 40.

Условие.

6. Вася Зайцев выстрелил из игрушечной пушки, стоящей на полу, маленьким тяжёлым шариком. В момент вылета шарика из пушки его скорость относительно пола была направлена под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту и равна по модулю $v_0 = 10 \text{ м/с}$. Пренебрегая разностью высот точек вылета и падения шарика, определите: а) дальность $\text{L}$ его полёта по горизонтали; б) время $t_\text{в}$, в течение которого шарик поднимался до высшей точки траектории; в) максимальную высоту $\text{H}$ подъёма шарика. Постройте графики движения шарика и его траекторию в системе отсчёта, связанной с полом.

Решение.

Выбор модели.

Шарик маленький и тяжёлый, модуль его начальной скорости достаточно мал. Поэтому влиянием воздуха на движение шарика можно пренебречь и считать, что шарик совершает свободное падение.

Шаг 1. Систему координат свяжем с __________.

Начало отсчёта поместим в точку __________.

Ось Х проведём __________ в направлении __________,

ось Y направим __________.

Часы включим __________.

Шаг 2. Начальные координаты шарика: $x_0 = \_\_\_;$ $y_0 = \_\_\_$.

Шаг 3. Проекции начальной скорости шарика на оси Х и Y равны:

$v_{x0} = \_\_\_;$ $v_{y0} = \_\_\_$.

Шаг 4. Ускорение $\vec{a}$ шарика в любой момент времени равно __________ и направлено __________ оси Y. Поэтому проекции ускорения шарика на оси Х и Y равны: $a_x = \_\_\_;$ $a_y = \_\_\_$.

До момента падения проекция шарика на ось Х движется __________ и координата $\text{x}$ шарика изменяется по закону: $x(t) = \_\_\_$. При этом проекция шарика на ось Y движется __________ и координата $\text{y}$ шарика изменяется по закону $y(t) = \_\_\_$.

Шаг 4*. Зависимости проекций скорости $\vec{v}$ шарика на оси Х и Y от времени $\text{t}$ имеют вид: $v_x(t) = \_\_\_;$ $v_y(t) = \_\_\_$.

Шаг 5. В момент $t_\text{п}$ падения шарика на Землю его координата по оси Y должна стать равной __. Поэтому условие падения имеет вид: __.

Шаг 6. Сведём полученные уравнения в систему, присвоив каждому номер и название.

$x(t) = \_\_\_$ (1) (закон движения по оси Х)

$y(t) = \_\_\_$ (2) (закон движения по оси Y)

$y(t_\text{п}) = \_\_\_$ (3) (условие падения)

Шаг 7. Решение системы уравнений. Подставив (2) в (3), получим уравнение для определения времени полёта шарика: __________.

Уравнение имеет два решения.

Первое решение $t_1 = \_\_\_$ соответствует начальному моменту времени.

Второе решение $t_2 = \_\_\_$ соответствует моменту падения шарика.

Таким образом, время полёта шарика $t_\text{п} = \_\_\_$.

Определим искомое расстояние $\text{L}$. Подставив время падения $t_\text{п}$ в закон движения (1), получим: $L = x(t_\text{п}) = \_\_\_ \text{ м}$.

Определим время $t_\text{в}$, в течение которого шарик поднимался до верхней точки траектории, из условия, что в этот момент проекция скорости шарика на ось Y $v_y(t_\text{в}) = \_\_\_$. Следовательно, с учётом шага 4*: $t_\text{в} = \_\_\_ \text{ с}$.

Определим максимальную высоту, на которую поднимется шарик во время полёта. Подставив $t_\text{в}$ в (2), получим: $H = y(t_\text{в}) = \_\_\_ \text{ м}$.

Для построения графиков движения шарика и его траектории полёта шарика заполним таблицу.

$t, \text{ с}$	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
$x, \text{ м}$
$y, \text{ м}$

Используя эту таблицу, построим графики движения шарика (рис. 33).

Рис. 33

Решение.

Дано:

$v_0 = 10 \text{ м/с}$

$\alpha = 30^\circ$

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Все данные уже в системе СИ.

Найти:

a) $L$ - дальность полёта

б) $t_в$ - время подъёма до высшей точки

в) $H$ - максимальную высоту подъёма

Построить графики движения и траекторию.

Решение

Выбор модели.

Шарик маленький и тяжёлый, модуль его начальной скорости достаточно мал. Поэтому влиянием воздуха на движение шарика можно пренебречь и считать, что шарик совершает свободное падение.

Шаг 1. Систему координат свяжем с точкой вылета шарика.

Начало отсчёта поместим в точку вылета шарика.

Ось X проведём горизонтально в направлении полёта.

ось Y направим вертикально вверх.

Часы включим в момент вылета шарика.

Шаг 2. Начальные координаты шарика: $x_0 = 0$; $y_0 = 0$

Шаг 3. Проекции начальной скорости шарика на оси X и Y равны:

$v_{x0} = v_0 \cos \alpha = 10 \cdot \cos 30^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8,66 \text{ м/с}$; $v_{y0} = v_0 \sin \alpha = 10 \cdot \sin 30^\circ = 10 \cdot 0,5 = 5 \text{ м/с}$

Шаг 4. Ускорение $\vec{a}$ шарика в любой момент времени равно ускорению свободного падения $\vec{g}$ и направлено вертикально вниз, то есть против оси Y. Поэтому проекции ускорения шарика на оси X и Y равны: $a_x = 0$; $a_y = -g$

До момента падения проекция шарика на ось X движется равномерно и координата $x$ шарика изменяется по закону: $x(t) = v_0 t \cos \alpha$. При этом проекция шарика на ось Y движется равноускоренно и координата $y$ шарика изменяется по закону $y(t) = v_0 t \sin \alpha - \frac{gt^2}{2}$.

Шаг 4*. Зависимости проекций скорости $\vec{v}$ шарика на оси X и Y от времени $t$ имеют вид: $v_x(t) = v_0 \cos \alpha$; $v_y(t) = v_0 \sin \alpha - gt$

Шаг 5. В момент $t_п$ падения шарика на Землю его координата по оси Y должна стать равной нулю. Поэтому условие падения имеет вид: $y(t_п) = 0$.

Шаг 6. Сведём полученные уравнения в систему, присвоив каждому номер и название.

$x(t) = v_0 t \cos \alpha$ (1) (закон движения по оси X)

$y(t) = v_0 t \sin \alpha - \frac{gt^2}{2}$ (2) (закон движения по оси Y)

$y(t_п) = v_0 t_п \sin \alpha - \frac{gt_п^2}{2} = 0$ (3) (условие падения)

Шаг 7. Решение системы уравнений. Подставив (2) в (3), получим уравнение для определения времени полёта шарика: $v_0 t_п \sin \alpha - \frac{gt_п^2}{2} = 0$.

Уравнение имеет два решения.

Первое решение $t_1 = 0$ соответствует начальному моменту времени.

Второе решение $t_2 = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g} = \frac{2 \cdot 10 \cdot 0,5}{10} = 1$ с соответствует моменту падения шарика.

Таким образом, время полёта шарика $t_п = 1$ с.

Определим искомое расстояние $L$. Подставив время падения $t_п$ в закон движения (1), получим: $L = x(t_п) = v_0 t_п \cos \alpha = 10 \cdot 1 \cdot \cos 30^\circ = 5\sqrt{3} \approx 8,66$ м.

Ответ: а) Дальность полёта шарика $L \approx 8,66$ м.

Определим время $t_в$, в течение которого шарик поднимался до верхней точки траектории, из условия, что в этот момент времени проекция скорости шарика на ось Y $v_y(t_в) = 0$. Следовательно, с учётом шага 4* $t_в = \frac{v_0 \sin \alpha}{g} = \frac{10 \cdot 0,5}{10} = 0,5$ с.

Ответ: б) Время подъёма шарика до высшей точки $t_в = 0,5$ с.

Определим максимальную высоту, на которую поднимется шарик во время полёта. Подставив $t_в$ в (2), получим: $H = y(t_в) = v_0 t_в \sin \alpha - \frac{g t_в^2}{2} = 10 \cdot 0,5 \cdot \sin 30^\circ - \frac{10 \cdot (0,5)^2}{2} = 5 \cdot 0,5 - \frac{10 \cdot 0,25}{2} = 2,5 - 1,25 = 1,25$ м.

Ответ: в) Максимальная высота подъёма шарика $H = 1,25$ м.

Для построения графиков движения и траектории полёта шарика заполним таблицу.

Используемые формулы: $x(t) = 8,66 \cdot t$; $y(t) = 5t - 5t^2$.

t, с	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
x, м	0	0,87	1,73	2,60	3,46	4,33	5,20	6,06	6,93	7,79	8,66
y, м	0	0,45	0,80	1,05	1,20	1,25	1,20	1,05	0,80	0,45	0

Используя эту таблицу, построим графики движения шарика (рис. 33).

1. График зависимости $x(t)$ (координата x от времени): на первом графике откладываем по горизонтальной оси время $t$ от 0 до 1,0 с, а по вертикальной – координату $x$ от 0 до 10 м. Точки из таблицы $(t, x)$ соединяем плавной линией. Получится прямая, выходящая из начала координат и достигающая точки $(1,0; 8,66)$.

2. График зависимости $y(t)$ (координата y от времени): на втором графике откладываем по горизонтальной оси время $t$ от 0 до 1,0 с, а по вертикальной – координату $y$ от 0 до 1,4 м. Точки из таблицы $(t, y)$ соединяем плавной линией. Получится парабола с ветвями вниз, выходящая из начала координат, достигающая вершины в точке $(0,5; 1,25)$ и возвращающаяся в точку $(1,0; 0)$.

3. График траектории $y(x)$ (зависимость y от x): на третьем графике откладываем по горизонтальной оси координату $x$ от 0 до 10 м, а по вертикальной – координату $y$ от 0 до 1,4 м. Точки из таблицы $(x, y)$ соединяем плавной линией. Получится парабола траектории, выходящая из начала координат, достигающая максимальной высоты в точке $(4,33; 1,25)$ и падающая на землю в точке $(8,66; 0)$.