Номер 7, страница 41, часть 1 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 1. Глава 1. Кинематика. Параграф 9. Движение тела, брошенного под углом к горизонту - номер 7, страница 41.

Условие.

7. Футболист бьёт по лежащему на поле мячу. В результате удара мяч приобретает скорость, модуль которой равен $v_0 = 20 \text{ м/с}$. Вектор скорости направлен под углом $\alpha = 60^\circ$ к горизонту. Определите: а) расстояние $\text{L}$ по горизонтали от точки удара до точки, в которой мяч упадёт на поле; б) время полёта мяча $t_\text{п}$; в) время $t_\text{в}$, в течение которого мяч поднимался до высшей точки траектории; г) максимальную высоту подъёма $\text{H}$ мяча. Считайте движение мяча свободным падением.

Решение.

Выбор модели.

Шаг 1. ______________.

Шаг 2. ______________.

Шаг 3. ______________.

Шаг 4. ______________.

Шаг 4*. ______________.

Шаг 5. ______________.

Шаг 6. ______________.

Шаг 7. ______________.

Ответ: время полёта мяча $t_\text{п} = \text{\_\_\_\_\_\_}$ с; расстояние $L = \text{\_\_\_\_\_\_}$ м; время $t_\text{в} = \text{\_\_\_\_\_\_}$ с; максимальная высота подъёма $H = \text{\_\_\_\_\_\_}$ м.

Решение.

Дано:

$v_0 = 20 \, \text{м/с}$

$\alpha = 60^\circ$

Данные представлены в системе СИ.

Найти:

а) $L$

б) $t_п$

в) $t_в$

г) $H$

Решение:

Движение мяча рассматриваем как движение тела, брошенного под углом к горизонту. Сопротивлением воздуха пренебрегаем, поэтому движение является свободным падением. Это сложное движение можно разложить на два независимых: равномерное движение вдоль горизонтальной оси (Ox) и равноускоренное движение вдоль вертикальной оси (Oy) с ускорением свободного падения $g$, направленным вниз. Примем $g \approx 10 \, \text{м/с}^2$.

Выберем систему координат с началом в точке удара, ось Ox направим горизонтально по направлению удара, а ось Oy — вертикально вверх.

Начальные проекции скорости на оси координат:

$v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$

$v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$

Уравнения движения для координат и скоростей мяча в любой момент времени $t$:

$x(t) = v_0 \cos(\alpha) t$

$y(t) = v_0 \sin(\alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

$v_x(t) = v_0 \cos(\alpha)$

$v_y(t) = v_0 \sin(\alpha) - gt$

а) расстояние L по горизонтали

Дальность полёта $L$ — это горизонтальная координата $x$ в момент падения мяча на поле, то есть в момент времени $t = t_п$ (полное время полёта).

$L = x(t_п) = v_0 \cos(\alpha) t_п$

Для нахождения $L$ сначала необходимо определить полное время полёта $t_п$. Мяч упадёт на поле, когда его вертикальная координата $y$ станет равной нулю: $y(t_п) = 0$.

$v_0 \sin(\alpha) t_п - \frac{gt_п^2}{2} = 0$

$t_п(v_0 \sin(\alpha) - \frac{gt_п}{2}) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $t=0$ (момент броска) и $t_п = \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g}$. Второе решение и есть время полёта.

Вычислим $t_п$:

$t_п = \frac{2 \cdot 20 \, \text{м/с} \cdot \sin(60^\circ)}{10 \, \text{м/с}^2} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \approx 3.46 \, \text{с}$

Теперь можем найти дальность полёта $L$:

$L = 20 \, \text{м/с} \cdot \cos(60^\circ) \cdot 2\sqrt{3} \, \text{с} = 20 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 20\sqrt{3} \approx 34.6 \, \text{м}$

Ответ: $L \approx 34.6$ м.

б) время полёта мяча $t_п$

Время полёта было найдено при решении пункта а). Это время, за которое мяч возвращается на начальную высоту ($y=0$).

$t_п = \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g}$

Подставим числовые значения:

$t_п = \frac{2 \cdot 20 \, \text{м/с} \cdot \sin(60^\circ)}{10 \, \text{м/с}^2} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \approx 3.46 \, \text{с}$

Ответ: $t_п \approx 3.46$ с.

в) время $t_в$, в течение которого мяч поднимался до высшей точки траектории

В высшей точке траектории вертикальная составляющая скорости мяча $v_y$ обращается в ноль.

$v_y(t_в) = v_0 \sin(\alpha) - g t_в = 0$

Отсюда находим время подъёма $t_в$:

$t_в = \frac{v_0 \sin(\alpha)}{g}$

Заметим, что из-за симметрии траектории $t_в = t_п / 2$.

$t_в = \frac{20 \, \text{м/с} \cdot \sin(60^\circ)}{10 \, \text{м/с}^2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \approx 1.73 \, \text{с}$

Ответ: $t_в \approx 1.73$ с.

г) максимальную высоту подъёма H мяча

Максимальная высота подъёма $H$ — это значение вертикальной координаты $y$ в момент времени $t_в$.

$H = y(t_в) = v_0 \sin(\alpha) t_в - \frac{g t_в^2}{2}$

Подставим известные значения:

$H = (20 \cdot \sin(60^\circ)) \cdot \sqrt{3} - \frac{10 \cdot (\sqrt{3})^2}{2} = (20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \sqrt{3} - \frac{10 \cdot 3}{2} = 10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 15 = 10 \cdot 3 - 15 = 30 - 15 = 15 \, \text{м}$

Альтернативно, можно использовать формулу $H = \frac{(v_0 \sin(\alpha))^2}{2g}$:

$H = \frac{(20 \, \text{м/с} \cdot \sin(60^\circ))^2}{2 \cdot 10 \, \text{м/с}^2} = \frac{(20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})^2}{20} = \frac{(10\sqrt{3})^2}{20} = \frac{300}{20} = 15 \, \text{м}$

Ответ: $H = 15$ м.