Номер 6, страница 4, часть 2 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 3. Импульс. Закон сохранения импульса. Параграф 23. Импульс. Изменение импульса материальной точки. Система тел. Закон сохранения импульса - номер 6, страница 4.

Условие.

6. На рис. 1 изображены векторы скорости шести материальных точек. Векторы скорости первых пяти точек лежат в одной из координатных плоскостей. Перпендикуляры, опущенные из конца вектора скорости точки 6 на координатные плоскости, показаны пунктирными линиями. Масса каждой точки равна 5 кг. Определите проекции импульсов и модули импульсов этих точек на координатные оси X, Y и Z. Считайте, что единичному вектору скорости $(1 \text{ м/с})$ соответствует отрезок, длина которого равна стороне квадрата сетки на рисунке. Результаты вычислений занесите в таблицу.

Puc. 1

Материальные точки

$P_x \text{, кг} \cdot \text{м/с}$

$P_y \text{, кг} \cdot \text{м/с}$

$P_z \text{, кг} \cdot \text{м/с}$

$P \text{, кг} \cdot \text{м/с}$

1

2

3

4

5

6

Решение.

Дано:

Масса каждой материальной точки: $m = 5$ кг.

Масштаб скорости: 1 сторона клетки на сетке соответствует $1$ м/c.

Найти:

Для каждой материальной точки найти проекции импульса на оси X, Y, Z ($p_x, p_y, p_z$) и модуль импульса ($p$).

Решение:

Импульс материальной точки (вектор) определяется по формуле $\vec{p} = m\vec{v}$, где $m$ — масса точки, а $\vec{v}$ — её скорость.

Проекции импульса на координатные оси вычисляются как $p_x = mv_x$, $p_y = mv_y$ и $p_z = mv_z$, где $v_x, v_y, v_z$ — проекции скорости на соответствующие оси.

Модуль импульса вычисляется по формуле $p = |\vec{p}| = \sqrt{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}$.

Определим проекции скорости для каждой точки по рисунку, принимая длину стороны одной клетки за 1 м/с.

1

Вектор скорости $\vec{v}_1$ направлен вдоль оси Z. Его длина составляет 2 клетки. Следовательно, его проекции на оси: $v_{1x} = 0$ м/с, $v_{1y} = 0$ м/с, $v_{1z} = 2$ м/с.

Проекции импульса:

$p_{1x} = m \cdot v_{1x} = 5 \cdot 0 = 0$ кг⋅м/с.

$p_{1y} = m \cdot v_{1y} = 5 \cdot 0 = 0$ кг⋅м/с.

$p_{1z} = m \cdot v_{1z} = 5 \cdot 2 = 10$ кг⋅м/с.

Модуль импульса:

$p_1 = \sqrt{p_{1x}^2 + p_{1y}^2 + p_{1z}^2} = \sqrt{0^2 + 0^2 + 10^2} = 10$ кг⋅м/с.

Ответ: $p_x=0$ кг⋅м/с, $p_y=0$ кг⋅м/с, $p_z=10$ кг⋅м/с, $p=10$ кг⋅м/с.

2

Вектор скорости $\vec{v}_2$ лежит в плоскости YZ. Его проекция на ось Y равна 3 клеткам, на ось Z — 2 клеткам. Следовательно, $v_{2x} = 0$ м/с, $v_{2y} = 3$ м/с, $v_{2z} = 2$ м/с.

Проекции импульса:

$p_{2x} = m \cdot v_{2x} = 5 \cdot 0 = 0$ кг⋅м/с.

$p_{2y} = m \cdot v_{2y} = 5 \cdot 3 = 15$ кг⋅м/с.

$p_{2z} = m \cdot v_{2z} = 5 \cdot 2 = 10$ кг⋅м/с.

Модуль импульса:

$p_2 = \sqrt{0^2 + 15^2 + 10^2} = \sqrt{225 + 100} = \sqrt{325} = 5\sqrt{13}$ кг⋅м/с.

Ответ: $p_x=0$ кг⋅м/с, $p_y=15$ кг⋅м/с, $p_z=10$ кг⋅м/с, $p=5\sqrt{13}$ кг⋅м/с.

3

Вектор скорости $\vec{v}_3$ направлен в отрицательном направлении оси Z. Его длина составляет 2 клетки. Следовательно, $v_{3x} = 0$ м/с, $v_{3y} = 0$ м/с, $v_{3z} = -2$ м/с.

Проекции импульса:

$p_{3x} = m \cdot v_{3x} = 5 \cdot 0 = 0$ кг⋅м/с.

$p_{3y} = m \cdot v_{3y} = 5 \cdot 0 = 0$ кг⋅м/с.

$p_{3z} = m \cdot v_{3z} = 5 \cdot (-2) = -10$ кг⋅м/с.

Модуль импульса:

$p_3 = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-10)^2} = \sqrt{100} = 10$ кг⋅м/с.

Ответ: $p_x=0$ кг⋅м/с, $p_y=0$ кг⋅м/с, $p_z=-10$ кг⋅м/с, $p=10$ кг⋅м/с.

4

Вектор скорости $\vec{v}_4$ лежит в плоскости XY. Его проекция на ось X равна -2 клеткам, на ось Y — -2 клеткам. Следовательно, $v_{4x} = -2$ м/с, $v_{4y} = -2$ м/с, $v_{4z} = 0$ м/с.

Проекции импульса:

$p_{4x} = m \cdot v_{4x} = 5 \cdot (-2) = -10$ кг⋅м/с.

$p_{4y} = m \cdot v_{4y} = 5 \cdot (-2) = -10$ кг⋅м/с.

$p_{4z} = m \cdot v_{4z} = 5 \cdot 0 = 0$ кг⋅м/с.

Модуль импульса:

$p_4 = \sqrt{(-10)^2 + (-10)^2 + 0^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ кг⋅м/с.

Ответ: $p_x=-10$ кг⋅м/с, $p_y=-10$ кг⋅м/с, $p_z=0$ кг⋅м/с, $p=10\sqrt{2}$ кг⋅м/с.

5

Вектор скорости $\vec{v}_5$ лежит в плоскости XY. Его проекция на ось X равна 3 клеткам, на ось Y — -2 клеткам. Следовательно, $v_{5x} = 3$ м/с, $v_{5y} = -2$ м/с, $v_{5z} = 0$ м/с.

Проекции импульса:

$p_{5x} = m \cdot v_{5x} = 5 \cdot 3 = 15$ кг⋅м/с.

$p_{5y} = m \cdot v_{5y} = 5 \cdot (-2) = -10$ кг⋅м/с.

$p_{5z} = m \cdot v_{5z} = 5 \cdot 0 = 0$ кг⋅м/с.

Модуль импульса:

$p_5 = \sqrt{15^2 + (-10)^2 + 0^2} = \sqrt{225 + 100} = \sqrt{325} = 5\sqrt{13}$ кг⋅м/с.

Ответ: $p_x=15$ кг⋅м/с, $p_y=-10$ кг⋅м/с, $p_z=0$ кг⋅м/с, $p=5\sqrt{13}$ кг⋅м/с.

6

Вектор скорости $\vec{v}_6$ имеет проекции на все три оси. Из рисунка видно, что его проекция на ось X равна 2 клеткам, на ось Y — 2 клеткам, на ось Z — 1 клетке. Следовательно, $v_{6x} = 2$ м/с, $v_{6y} = 2$ м/с, $v_{6z} = 1$ м/с.

Проекции импульса:

$p_{6x} = m \cdot v_{6x} = 5 \cdot 2 = 10$ кг⋅м/с.

$p_{6y} = m \cdot v_{6y} = 5 \cdot 2 = 10$ кг⋅м/с.

$p_{6z} = m \cdot v_{6z} = 5 \cdot 1 = 5$ кг⋅м/с.

Модуль импульса:

$p_6 = \sqrt{10^2 + 10^2 + 5^2} = \sqrt{100 + 100 + 25} = \sqrt{225} = 15$ кг⋅м/с.

Ответ: $p_x=10$ кг⋅м/с, $p_y=10$ кг⋅м/с, $p_z=5$ кг⋅м/с, $p=15$ кг⋅м/с.

Итоговая таблица с результатами:

Материальные точки	$p_x$, кг⋅м/с	$p_y$, кг⋅м/с	$p_z$, кг⋅м/с	$p$, кг⋅м/с
1	0	0	10	10
2	0	15	10	$5\sqrt{13}$
3	0	0	-10	10
4	-10	-10	0	$10\sqrt{2}$
5	15	-10	0	$5\sqrt{13}$
6	10	10	5	15