Номер 5, страница 11, часть 2 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 3. Импульс. Закон сохранения импульса. Параграф 24. Применение закона сохранения импульса при решении задач - номер 5, страница 11.

Условие.

5. Гранату бросают под углом $\alpha = 60^{\circ}$ к горизонту со скоростью, модуль которой равен $v = 10$ м/с. В верхней точке траектории граната разорвалась на две части. Первый осколок массой $m = 0,3$ кг полетел вертикально вверх со скоростью, модуль которой равен $v_1 = 25$ м/с. Пренебрегая массой сгоревшего пороха, найдите модуль скорости $\vec{V}$ второго осколка массой $M = 0,6$ кг сразу после взрыва. Объясните, почему при решении задачи можно пренебречь импульсом сил тяжести, действовавших на гранату во время взрыва. Сделайте рисунок к задаче.

Решение.

Дано:
Угол броска гранаты, $\alpha = 60^\circ$
Начальная скорость гранаты, $v = 10$ м/с
Масса первого осколка, $m = 0,3$ кг
Скорость первого осколка, $v_1 = 25$ м/с (направлена вертикально вверх)
Масса второго осколка, $M = 0,6$ кг

Найти:
Модуль скорости второго осколка, $V - ?$

Решение:

Сделайте рисунок к задаче.

На рисунке изображена параболическая траектория полета гранаты. В верхней точке траектории (точка А) происходит взрыв. Вектор скорости гранаты $\vec{v}_{в.т.}$ непосредственно перед взрывом направлен горизонтально. После взрыва первый осколок массой $m$ летит вертикально вверх со скоростью $\vec{v}_1$, а второй осколок массой $M$ летит со скоростью $\vec{V}$.

Найдите модуль скорости $\vec{V}$ второго осколка массой $M = 0,6$ кг сразу после взрыва.

1. Определим скорость гранаты в верхней точке траектории. В этой точке вертикальная составляющая скорости равна нулю, а горизонтальная составляющая остается постоянной на протяжении всего полета (сопротивлением воздуха пренебрегаем).
$v_{в.т.} = v_x = v \cdot \cos \alpha = 10 \text{ м/с} \cdot \cos 60^\circ = 10 \text{ м/с} \cdot 0,5 = 5$ м/с.
Скорость гранаты перед взрывом $\vec{v}_{в.т.}$ направлена горизонтально.

2. Общая масса гранаты до взрыва: $m_{общ} = m + M = 0,3 \text{ кг} + 0,6 \text{ кг} = 0,9$ кг.

3. Взрыв является внутренним процессом для системы, состоящей из осколков. Длительность взрыва очень мала, поэтому импульсом внешней силы (силы тяжести) за время взрыва можно пренебречь. Следовательно, для системы осколков выполняется закон сохранения импульса.
Векторная сумма импульсов осколков после взрыва равна импульсу гранаты до взрыва:
$(m+M) \vec{v}_{в.т.} = m \vec{v}_1 + M \vec{V}$.

4. Введем систему координат: ось OX направим горизонтально в сторону полета гранаты, а ось OY – вертикально вверх. Запишем закон сохранения импульса в проекциях на эти оси.

Проекция на ось OX:
$(m+M) v_{в.т.} = m v_{1x} + M V_x$
Поскольку первый осколок полетел вертикально вверх, его горизонтальная составляющая скорости $v_{1x} = 0$.
$(m+M) v_{в.т.} = M V_x$
Отсюда находим горизонтальную составляющую скорости второго осколка:
$V_x = \frac{(m+M) v_{в.т.}}{M} = \frac{0,9 \text{ кг} \cdot 5 \text{ м/с}}{0,6 \text{ кг}} = \frac{4,5}{0,6} = 7,5$ м/с.

Проекция на ось OY:
$0 = m v_{1y} + M V_y$
Вертикальная составляющая импульса гранаты до взрыва равна нулю. Скорость первого осколка направлена вертикально вверх, поэтому $v_{1y} = v_1$.
$0 = m v_1 + M V_y$
Отсюда находим вертикальную составляющую скорости второго осколка:
$V_y = -\frac{m v_1}{M} = -\frac{0,3 \text{ кг} \cdot 25 \text{ м/с}}{0,6 \text{ кг}} = -\frac{7,5}{0,6} = -12,5$ м/с.
Знак «минус» означает, что вертикальная составляющая скорости второго осколка направлена вниз.

5. Теперь найдем модуль скорости второго осколка по теореме Пифагора:
$V = \sqrt{V_x^2 + V_y^2} = \sqrt{(7,5 \text{ м/с})^2 + (-12,5 \text{ м/с})^2} = \sqrt{56,25 + 156,25} \text{ м/с} = \sqrt{212,5} \text{ м/с} \approx 14,6$ м/с.

Ответ: Модуль скорости второго осколка равен $\sqrt{212,5} \text{ м/с} \approx 14,6 \text{ м/с}$.

Объясните, почему при решении задачи можно пренебречь импульсом сил тяжести, действовавших на гранату во время взрыва.

Закон сохранения импульса строго выполняется только для замкнутых систем, то есть систем, на которые не действуют внешние силы, или векторная сумма этих сил равна нулю. В данной задаче на систему «граната» (а затем «осколки») действует внешняя сила — сила тяжести.

Однако взрыв происходит за очень короткий промежуток времени $\Delta t \to 0$. Изменение импульса системы под действием внешней силы (в данном случае, силы тяжести $\vec{F}_т$) равно импульсу этой силы: $\Delta \vec{p}_{внеш} = \vec{F}_т \Delta t$.

Поскольку время взрыва $\Delta t$ чрезвычайно мало, то и импульс силы тяжести за это время также пренебрежимо мал по сравнению с импульсами, которые осколки получают от внутренних сил взрыва. Внутренние силы взрыва на много порядков больше внешних сил. Поэтому изменением полного импульса системы за время взрыва можно пренебречь и считать систему практически замкнутой в момент взрыва. Это позволяет применить закон сохранения импульса для нахождения скоростей осколков сразу после взрыва.

Ответ: Импульсом силы тяжести можно пренебречь, так как время взрыва $\Delta t$ очень мало, и за это время импульс силы тяжести ($\vec{F}_т \Delta t$) оказывается пренебрежимо малым по сравнению с изменением импульсов тел за счет огромных внутренних сил взрыва.