Номер 8, страница 14, часть 2 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 3. Импульс. Закон сохранения импульса. Параграф 24. Применение закона сохранения импульса при решении задач - номер 8, страница 14.

Условие.

8. На неподвижном плоту посреди озера сидит обезьяна. Рядом с ней лежат 20 кокосовых орехов. Масса плота с обезьяной и орехами равна $M = 150$ кг, масса каждого ореха $m = 2$ кг. Обезьяна начинает кидать по одному ореху в сторону берега. Каждому ореху обезьяна сообщает скорость, горизонтальная составляющая которой относительно плота $v = 3$ м/с. Какую по модулю скорость приобретёт плот с обезьяной и оставшимися орехами после одного, двух, трёх, $n (n \le N)$ бросков?

Решение.

Ответ: ___________.

Решение.

Дано:

$N = 20$ – общее количество орехов

$M = 150 \text{ кг}$ – начальная масса плота с обезьяной и всеми орехами

$m = 2 \text{ кг}$ – масса одного ореха

$v = 3 \text{ м/с}$ – скорость, сообщаемая ореху относительно плота

Найти:

$V_1, V_2, V_3, V_n$ – модуль скорости плота после одного, двух, трёх и $n$ бросков.

Решение:

Поскольку внешние горизонтальные силы, действующие на систему «плот + обезьяна + орехи», отсутствуют (сопротивлением воды можно пренебречь), в горизонтальном направлении выполняется закон сохранения импульса. Начальный импульс системы равен нулю, так как плот находится в состоянии покоя.

Рассмотрим процесс броска с номером $k$ (где $k$ изменяется от 1 до $n$). Пусть $U_{k-1}$ – скорость плота с оставшимися орехами относительно озера непосредственно перед $k$-м броском. Масса этой системы равна $M' = M - (k-1)m$. Её импульс $P_{k-1} = (M - (k-1)m) U_{k-1}$.

После $k$-го броска скорость плота становится $U_k$, а его масса уменьшается до $M'' = M - km$. Орех массой $m$ брошен со скоростью $v$ относительно плота. Выберем направление движения плота в качестве положительного направления оси. Тогда орех бросается в противоположную сторону, и его скорость относительно плота равна $-v$. Скорость ореха относительно озера (неподвижной системы отсчета) будет равна $v_{ореха} = U_k - v$.

Импульс системы после $k$-го броска равен сумме импульсов плота и брошенного ореха: $P_k = (M - km)U_k + m(U_k - v)$.

По закону сохранения импульса $P_{k-1} = P_k$:

$(M - (k-1)m) U_{k-1} = (M - km)U_k + m(U_k - v)$

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

$(M - km + m) U_{k-1} = (M - km + m)U_k - mv$

Отсюда найдем приращение скорости плота за $k$-й бросок $\Delta U_k = U_k - U_{k-1}$:

$\Delta U_k = \frac{mv}{M - (k-1)m}$

Так как начальная скорость плота $U_0 = 0$, то скорость после $n$ бросков будет равна сумме приращений:

$V_n = \sum_{k=1}^{n} \Delta U_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{mv}{M - (k-1)m}$

Теперь, используя эту формулу, найдем искомые скорости.

После одного броска

Для $n=1$:

$V_1 = \frac{mv}{M - (1-1)m} = \frac{mv}{M} = \frac{2 \text{ кг} \cdot 3 \text{ м/с}}{150 \text{ кг}} = \frac{6}{150} \text{ м/с} = 0.04 \text{ м/с}$

Ответ: $0.04 \text{ м/с}$.

После двух бросков

Для $n=2$ скорость будет равна $V_1$ плюс приращение от второго броска:

$V_2 = V_1 + \frac{mv}{M - (2-1)m} = V_1 + \frac{mv}{M-m}$

$V_2 = 0.04 \text{ м/с} + \frac{2 \text{ кг} \cdot 3 \text{ м/с}}{150 \text{ кг} - 2 \text{ кг}} = 0.04 + \frac{6}{148} \approx 0.04 + 0.04054 \approx 0.08054 \text{ м/с}$

Ответ: $\approx 0.081 \text{ м/с}$.

После трёх бросков

Для $n=3$ скорость будет равна $V_2$ плюс приращение от третьего броска:

$V_3 = V_2 + \frac{mv}{M - (3-1)m} = V_2 + \frac{mv}{M-2m}$

$V_3 \approx 0.08054 \text{ м/с} + \frac{2 \text{ кг} \cdot 3 \text{ м/с}}{150 \text{ кг} - 4 \text{ кг}} \approx 0.08054 + \frac{6}{146} \approx 0.08054 + 0.04110 \approx 0.12164 \text{ м/с}$

Ответ: $\approx 0.122 \text{ м/с}$.

После n ($n \le N$) бросков

Общая формула для модуля скорости плота после $n$ бросков, как было выведено ранее:

$V_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{mv}{M - (k-1)m}$

Ответ: $V_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{mv}{M - (k-1)m}$.