Номер 6, страница 12, часть 2 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 3. Импульс. Закон сохранения импульса. Параграф 24. Применение закона сохранения импульса при решении задач - номер 6, страница 12.

Условие.

6. Брусок массой $M = 2$ кг скользит по гладкому горизонтальному полу вдоль оси X со скоростью, модуль которой равен $V = 5$ м/с (рис. 6). Второй брусок массой $m = 1$ кг налетает на первый брусок со скоростью, модуль которой равен $v = 5$ м/с. Направление скорости второго бруска перпендикулярно направлению скорости первого бруска. После столкновения бруски движутся поступательно как единое целое. Определите проекции на координатные оси скорости $\vec{u}$ брусков после столкновения, а также модуль и направление скорости $\vec{u}$. Рис. 6

Решение.

Шаг 0. _______________.

Шаг 1. _______________.

Шаг 2. _______________.

Шаг 3. _______________.

Шаг 4. _______________.

Шаг 5.

Ответ: _______________.

Решение.

Дано:

Масса первого бруска, $M = 2$ кг

Скорость первого бруска, $V = 5$ м/с

Масса второго бруска, $m = 1$ кг

Скорость второго бруска, $v = 5$ м/с

Векторы скоростей $\vec{V}$ и $\vec{v}$ взаимно перпендикулярны.

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Проекции скорости после столкновения: $u_x, u_y$

Модуль скорости после столкновения: $u$

Направление скорости после столкновения: $\alpha$

Решение:

Шаг 0. Анализ физической модели задачи

Рассматривается система из двух брусков, которые после столкновения движутся как единое целое. Такое столкновение является абсолютно неупругим. Поскольку бруски движутся по гладкому горизонтальному полу, внешние горизонтальные силы (силы трения) отсутствуют. Сила тяжести и сила нормальной реакции опоры, действующие на систему, уравновешивают друг друга в вертикальном направлении. Следовательно, для системы двух брусков выполняется закон сохранения импульса в проекциях на горизонтальные оси координат.

Шаг 1. Запись закона сохранения импульса в векторной форме

Суммарный импульс системы до столкновения $\vec{p}_{до}$ равен векторной сумме импульсов каждого бруска: $\vec{p}_{до} = M\vec{V} + m\vec{v}$. После столкновения бруски движутся вместе с общей скоростью $\vec{u}$, и их суммарный импульс $\vec{p}_{после}$ равен: $\vec{p}_{после} = (M+m)\vec{u}$. Согласно закону сохранения импульса, $\vec{p}_{до} = \vec{p}_{после}$. Таким образом, получаем векторное уравнение:

$M\vec{V} + m\vec{v} = (M+m)\vec{u}$

Шаг 2. Проекция уравнения на оси координат

Введем систему координат, как показано на рисунке: ось X направим вдоль начальной скорости первого бруска $\vec{V}$, а ось Y — вдоль начальной скорости второго бруска $\vec{v}$. В этой системе координат проекции начальных скоростей будут: $V_x = V, V_y = 0$ и $v_x = 0, v_y = v$. Проекции конечной скорости обозначим как $u_x$ и $u_y$.

Спроецируем векторное уравнение на координатные оси:

Проекция на ось X:

$M V_x + m v_x = (M+m) u_x \implies M V + m \cdot 0 = (M+m) u_x \implies M V = (M+m) u_x$

Проекция на ось Y:

$M V_y + m v_y = (M+m) u_y \implies M \cdot 0 + m v = (M+m) u_y \implies m v = (M+m) u_y$

Шаг 3. Расчет проекций конечной скорости

Из полученных уравнений выразим и найдем численные значения проекций скорости $\vec{u}$.

Проекция на ось X:

$u_x = \frac{M V}{M+m} = \frac{2 \text{ кг} \cdot 5 \text{ м/с}}{2 \text{ кг} + 1 \text{ кг}} = \frac{10}{3} \text{ м/с} \approx 3,33 \text{ м/с}$.

Проекция на ось Y:

$u_y = \frac{m v}{M+m} = \frac{1 \text{ кг} \cdot 5 \text{ м/с}}{2 \text{ кг} + 1 \text{ кг}} = \frac{5}{3} \text{ м/с} \approx 1,67 \text{ м/с}$.

Шаг 4. Расчет модуля конечной скорости

Модуль скорости $\vec{u}$ найдем по теореме Пифагора, используя найденные проекции:

$u = |\vec{u}| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2} = \sqrt{(\frac{10}{3})^2 + (\frac{5}{3})^2} = \sqrt{\frac{100}{9} + \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{125}{9}} = \frac{\sqrt{25 \cdot 5}}{3} = \frac{5\sqrt{5}}{3} \text{ м/с}$.

Приближенное значение: $u \approx 3,73 \text{ м/с}$.

Шаг 5. Определение направления конечной скорости

Направление вектора скорости $\vec{u}$ определяется углом $\alpha$, который он составляет с положительным направлением оси X. Тангенс этого угла равен отношению проекций скорости:

$\tan(\alpha) = \frac{u_y}{u_x} = \frac{5/3 \text{ м/с}}{10/3 \text{ м/с}} = \frac{5}{10} = 0,5$.

Отсюда находим угол:

$\alpha = \arctan(0,5) \approx 26,6^\circ$.

Ответ:

Проекции скорости на координатные оси: $u_x = \frac{10}{3}$ м/с $\approx 3,33$ м/с, $u_y = \frac{5}{3}$ м/с $\approx 1,67$ м/с.

Модуль скорости: $u = \frac{5\sqrt{5}}{3}$ м/с $\approx 3,73$ м/с.

Направление скорости: вектор скорости $\vec{u}$ направлен под углом $\alpha \approx 26,6^\circ$ к оси X.